Номер 43.29, страница 256, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Дана функция $f(x) = 9 - x^2$.

1. Найдем точки пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox). Для этого решим уравнение $f(x) = 0$:
$9 - x^2 = 0$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3$, $x_2 = -3$.
Таким образом, у нас есть две точки касания: $(3, 0)$ и $(-3, 0)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (9 - x^2)' = -2x$.

3. Уравнение касательной в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Так как точки касания лежат на оси абсцисс, $f(x_0) = 0$, и уравнение упрощается до $y = f'(x_0)(x - x_0)$.

4. Найдем уравнения касательных для каждой точки:

Для точки $x_0 = 3$:
Найдем значение производной (угловой коэффициент): $f'(3) = -2 \cdot 3 = -6$.
Уравнение касательной: $y = -6(x - 3) = -6x + 18$.

Для точки $x_0 = -3$:
Найдем значение производной: $f'(-3) = -2 \cdot (-3) = 6$.
Уравнение касательной: $y = 6(x - (-3)) = 6(x + 3) = 6x + 18$.

Ответ: $y = -6x + 18$ и $y = 6x + 18$.

Дана функция $f(x) = x^3 - 27$.

1. Найдем точку пересечения графика с осью абсцисс, решив уравнение $f(x) = 0$:
$x^3 - 27 = 0$
$x^3 = 27$
$x_0 = 3$.
Точка касания: $(3, 0)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 27)' = 3x^2$.

3. Найдем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 3$:
$f'(3) = 3 \cdot 3^2 = 3 \cdot 9 = 27$.

4. Напишем уравнение касательной по формуле $y = f'(x_0)(x - x_0)$:
$y = 27(x - 3) = 27x - 81$.

Ответ: $y = 27x - 81$.

Дана функция $f(x) = x^3 - 4x$.

1. Найдем точки пересечения с осью абсцисс ($f(x) = 0$):
$x^3 - 4x = 0$
$x(x^2 - 4) = 0$
$x(x-2)(x+2) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.
Точки касания: $(0, 0)$, $(2, 0)$ и $(-2, 0)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 4x)' = 3x^2 - 4$.

3. Найдем уравнения касательных для каждой точки:

Для точки $x_0 = 0$:
Угловой коэффициент: $f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 4 = -4$.
Уравнение касательной: $y = -4(x - 0) = -4x$.

Для точки $x_0 = 2$:
Угловой коэффициент: $f'(2) = 3 \cdot 2^2 - 4 = 3 \cdot 4 - 4 = 8$.
Уравнение касательной: $y = 8(x - 2) = 8x - 16$.

Для точки $x_0 = -2$:
Угловой коэффициент: $f'(-2) = 3 \cdot (-2)^2 - 4 = 3 \cdot 4 - 4 = 8$.
Уравнение касательной: $y = 8(x - (-2)) = 8(x+2) = 8x + 16$.

Ответ: $y = -4x$, $y = 8x - 16$ и $y = 8x + 16$.

Дана функция $f(x) = x^3 - x^4$.

1. Найдем точки пересечения с осью абсцисс ($f(x) = 0$):
$x^3 - x^4 = 0$
$x^3(1 - x) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = 1$.
Точки касания: $(0, 0)$ и $(1, 0)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 - x^4)' = 3x^2 - 4x^3$.

3. Найдем уравнения касательных для каждой точки:

Для точки $x_0 = 0$:
Угловой коэффициент: $f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0^3 = 0$.
Уравнение касательной: $y = 0(x - 0)$, то есть $y = 0$.

Для точки $x_0 = 1$:
Угловой коэффициент: $f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1^3 = 3 - 4 = -1$.
Уравнение касательной: $y = -1(x - 1) = -x + 1$.

Ответ: $y = 0$ и $y = -x + 1$.