Номер 43.23, страница 255, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.23. a) $f(x) = \frac{3x - 2}{3 - x}, a = 2;$

б) $f(x) = \frac{1}{(x + 2)^3}, a = -3;$

В) $f(x) = \frac{2x - 5}{5 - x}, a = 4;$

Г) $f(x) = \frac{1}{4(2x - 1)^2}, a = 1.$

а)

Дана функция $f(x) = \frac{3x - 2}{3 - x}$ и точка $a = 2$. Задача состоит в том, чтобы найти значение производной функции в данной точке, то есть $f'(a)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Так как функция представляет собой частное двух выражений, воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = 3x - 2$ и $v(x) = 3 - x$. Их производные равны $u'(x) = 3$ и $v'(x) = -1$.

Подставим эти значения в формулу производной частного:

$f'(x) = \frac{(3x-2)'(3-x) - (3x-2)(3-x)'}{(3-x)^2} = \frac{3(3-x) - (3x-2)(-1)}{(3-x)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$f'(x) = \frac{9 - 3x - (-3x + 2)}{(3-x)^2} = \frac{9 - 3x + 3x - 2}{(3-x)^2} = \frac{7}{(3-x)^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = a = 2$:

$f'(2) = \frac{7}{(3-2)^2} = \frac{7}{1^2} = 7$

Ответ: 7

б)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{(x + 2)^3}$ и точка $a = -3$.

Для удобства дифференцирования представим функцию в виде степенной: $f(x) = (x + 2)^{-3}$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Здесь $u = x + 2$, $n = -3$, и производная внутренней функции $u' = (x+2)' = 1$.

Применяем правило:

$f'(x) = -3(x+2)^{-3-1} \cdot (x+2)' = -3(x+2)^{-4} \cdot 1 = -\frac{3}{(x+2)^4}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = a = -3$:

$f'(-3) = -\frac{3}{(-3+2)^4} = -\frac{3}{(-1)^4} = -\frac{3}{1} = -3$

Ответ: -3

в)

Дана функция $f(x) = \frac{2x - 5}{5 - x}$ и точка $a = 4$.

Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае $u(x) = 2x - 5$ и $v(x) = 5 - x$. Их производные: $u'(x) = 2$ и $v'(x) = -1$.

Подставляем в формулу:

$f'(x) = \frac{(2x-5)'(5-x) - (2x-5)(5-x)'}{(5-x)^2} = \frac{2(5-x) - (2x-5)(-1)}{(5-x)^2}$

Упростим числитель:

$f'(x) = \frac{10 - 2x - (-2x + 5)}{(5-x)^2} = \frac{10 - 2x + 2x - 5}{(5-x)^2} = \frac{5}{(5-x)^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = a = 4$:

$f'(4) = \frac{5}{(5-4)^2} = \frac{5}{1^2} = 5$

Ответ: 5

г)

Дана функция $f(x) = \frac{1}{4(2x - 1)^2}$ и точка $a = 1$.

Представим функцию в виде $f(x) = \frac{1}{4}(2x - 1)^{-2}$ для упрощения дифференцирования.

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(c \cdot u^n)' = c \cdot n \cdot u^{n-1} \cdot u'$.

Здесь константа $c = \frac{1}{4}$, основание степени $u = 2x - 1$, показатель степени $n = -2$, и производная основания $u' = (2x-1)' = 2$.

Применяем правило:

$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot (-2)(2x-1)^{-2-1} \cdot (2x-1)' = \frac{1}{4} \cdot (-2)(2x-1)^{-3} \cdot 2$

Упростим выражение:

$f'(x) = \frac{-4}{4}(2x-1)^{-3} = -1 \cdot (2x-1)^{-3} = -\frac{1}{(2x-1)^3}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x = a = 1$:

$f'(1) = -\frac{1}{(2 \cdot 1 - 1)^3} = -\frac{1}{(2 - 1)^3} = -\frac{1}{1^3} = -1$

Ответ: -1