Номер 43.21, страница 255, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.21. a) $f(x) = |2x - x^2|$, $a = 1;$

б) $f(x) = |x^2 - 3x - 4|$, $a = -2;$

в) $f(x) = |x^2 + 4x|$, $a = -3;$

г) $f(x) = |x^2 - 3x - 4|$, $a = -1?$

а) $f(x) = |2x - x^2|$, $a = 1$

Чтобы найти производную функции $f(x)$ в точке $a=1$, сначала определим, как раскрывается модуль в окрестности этой точки. Для этого рассмотрим знак выражения под модулем: $g(x) = 2x - x^2$.

Найдем нули функции $g(x)$: $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x) = 0$, откуда $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Это парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, $g(x) \ge 0$ при $x \in [0, 2]$ и $g(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

Точка $a=1$ принадлежит интервалу $(0, 2)$, на котором $2x - x^2 > 0$. Значит, в окрестности точки $x=1$ модуль раскрывается со знаком плюс: $f(x) = 2x - x^2$.

Теперь найдем производную этой функции:

$f'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.

Вычислим значение производной в точке $a=1$:

$f'(1) = 2 - 2(1) = 0$.

Ответ: $0$.

б) $f(x) = |x^2 - 3x - 4|$, $a = -2$

Рассмотрим выражение под модулем: $g(x) = x^2 - 3x - 4$. Найдем его нули, решив квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$.

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 4$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, $g(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty, -1] \cup [4, \infty)$ и $g(x) < 0$ при $x \in (-1, 4)$.

Точка $a=-2$ принадлежит интервалу $(-\infty, -1)$, на котором $x^2 - 3x - 4 > 0$. Следовательно, в окрестности точки $x=-2$ модуль раскрывается со знаком плюс: $f(x) = x^2 - 3x - 4$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^2 - 3x - 4)' = 2x - 3$.

Вычислим значение производной в точке $a=-2$:

$f'(-2) = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7$.

Ответ: $-7$.

в) $f(x) = |x^2 + 4x|$, $a = -3$

Рассмотрим выражение под модулем: $g(x) = x^2 + 4x$. Найдем его нули: $x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x+4) = 0$, откуда $x_1 = 0$, $x_2 = -4$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх. Значит, $g(x) \ge 0$ при $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$ и $g(x) < 0$ при $x \in (-4, 0)$.

Точка $a=-3$ принадлежит интервалу $(-4, 0)$, на котором $x^2 + 4x < 0$. Следовательно, в окрестности точки $x=-3$ модуль раскрывается со знаком минус: $f(x) = -(x^2 + 4x) = -x^2 - 4x$.

Найдем производную этой функции:

$f'(x) = (-x^2 - 4x)' = -2x - 4$.

Вычислим значение производной в точке $a=-3$:

$f'(-3) = -2(-3) - 4 = 6 - 4 = 2$.

Ответ: $2$.

г) $f(x) = |x^2 - 3x - 4|$, $a = -1$

Рассмотрим выражение под модулем $g(x) = x^2 - 3x - 4$ в точке $a=-1$.

$g(-1) = (-1)^2 - 3(-1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$.

Поскольку выражение под модулем обращается в ноль в точке $a=-1$, функция $f(x)$ может не иметь производной в этой точке (может быть "излом" графика). Для проверки существования производной необходимо найти левостороннюю и правостороннюю производные в этой точке.

1. Левосторонняя производная ($x \to -1^-$). При $x < -1$ (как мы выяснили в пункте б), выражение $x^2 - 3x - 4 > 0$. Значит, $f(x) = x^2 - 3x - 4$.

Производная для $x < -1$ равна $f'(x) = 2x - 3$.

Левосторонняя производная в точке $a=-1$ равна:

$f'_-(-1) = \lim_{x \to -1^-} (2x - 3) = 2(-1) - 3 = -5$.

2. Правосторонняя производная ($x \to -1^+$). При $x > -1$ и $x<4$, выражение $x^2 - 3x - 4 < 0$. Значит, $f(x) = -(x^2 - 3x - 4) = -x^2 + 3x + 4$.

Производная для $x \in (-1, 4)$ равна $f'(x) = -2x + 3$.

Правосторонняя производная в точке $a=-1$ равна:

$f'_+(-1) = \lim_{x \to -1^+} (-2x + 3) = -2(-1) + 3 = 2 + 3 = 5$.

Поскольку левосторонняя производная $f'_-(-1) = -5$ не равна правосторонней производной $f'_+(-1) = 5$, производная функции $f(x)$ в точке $a=-1$ не существует.

Ответ: производная не существует.