Номер 43.14, страница 254, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Какой угол образует с осью x касательная, проведённая к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$:

43.14. a) $f(x) = 4 + x^2$, $a = 2$;

б) $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$, $a = 3$;

в) $f(x) = (1 - x)^3$, $a = -3$;

г) $f(x) = 2x - x^3$, $a = 1?$

Угол $\alpha$, который образует касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=a$ с положительным направлением оси Ox, определяется из геометрического смысла производной. Тангенс этого угла равен значению производной функции в точке касания: $\tan(\alpha) = f'(a)$.

а) Дана функция $f(x) = 4 + x^2$ и точка $a = 2$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (4 + x^2)' = 2x$.

2. Вычислим значение производной в точке $a=2$, чтобы найти тангенс угла наклона касательной:

$k = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.

3. Угол $\alpha$ находим из соотношения $\tan(\alpha) = 4$:

$\alpha = \arctan(4)$.

Ответ: $\arctan(4)$.

б) Дана функция $f(x) = 1 - \frac{1}{x}$ и точка $a = 3$.

1. Найдем производную функции. Для удобства запишем функцию в виде $f(x) = 1 - x^{-1}$:

$f'(x) = (1 - x^{-1})' = -(-1)x^{-1-1} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

2. Вычислим значение производной в точке $a=3$:

$k = f'(3) = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

3. Угол $\alpha$ находим из соотношения $\tan(\alpha) = \frac{1}{9}$:

$\alpha = \arctan(\frac{1}{9})$.

Ответ: $\arctan(\frac{1}{9})$.

в) Дана функция $f(x) = (1 - x)^3$ и точка $a = -3$.

1. Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = ((1 - x)^3)' = 3(1-x)^2 \cdot (1-x)' = 3(1-x)^2 \cdot (-1) = -3(1-x)^2$.

2. Вычислим значение производной в точке $a=-3$:

$k = f'(-3) = -3(1 - (-3))^2 = -3(1+3)^2 = -3 \cdot 4^2 = -3 \cdot 16 = -48$.

3. Угол $\alpha$ находим из соотношения $\tan(\alpha) = -48$:

$\alpha = \arctan(-48)$.

Ответ: $\arctan(-48)$.

г) Дана функция $f(x) = 2x - x^3$ и точка $a = 1$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x - x^3)' = 2 - 3x^2$.

2. Вычислим значение производной в точке $a=1$:

$k = f'(1) = 2 - 3 \cdot 1^2 = 2 - 3 = -1$.

3. Угол $\alpha$ находим из соотношения $\tan(\alpha) = -1$. Этому значению тангенса соответствует угол $135^\circ$ или $\frac{3\pi}{4}$ радиан, лежащий в промежутке $[0, 180^\circ)$.

$\alpha = 135^\circ$ (или $\frac{3\pi}{4}$).

Ответ: $135^\circ$ (или $\frac{3\pi}{4}$).