Номер 43.9, страница 254, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в каждой из указанных точек:

43.9. а) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } |x| \ge 1, \\ 1 - x^2, & \text{если } |x| < 1, \end{cases}$ $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 3;$

б) $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } x \ge 0, \\ 2 - x^2, & \text{если } x < 0, \end{cases}$ $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 2;$

в) $f(x) = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \le 0, \\ \sqrt{5x}, & \text{если } x > 0, \end{cases}$ $x_1 = -1, x_2 = 1, x_3 = 5;$

г) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{4 - 2x}, & \text{если } x \le 2, \\ x - 2, & \text{если } x > 2, \end{cases}$ $x_1 = -2, x_2 = 2, x_3 = 5.$

а)

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.

Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } |x| \ge 1 \\ 1 - x^2, & \text{если } |x| < 1 \end{cases}$.

Найдем производную функции для каждого интервала. Условие $|x| \ge 1$ эквивалентно $x \le -1$ или $x \ge 1$. Условие $|x| < 1$ эквивалентно $-1 < x < 1$.

При $|x| > 1$, то есть при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, производная равна $f'(x) = (x^2 - 1)' = 2x$.

При $|x| < 1$, то есть при $x \in (-1, 1)$, производная равна $f'(x) = (1 - x^2)' = -2x$.

В точках $x = -1$ и $x = 1$ функция недифференцируема, так как односторонние производные в этих точках не совпадают.

Теперь вычислим угловые коэффициенты в указанных точках:

1. Для точки $x_1 = -2$: так как $|-2| = 2 \ge 1$, то $f'(x) = 2x$. Угловой коэффициент $k_1 = f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$.

2. Для точки $x_2 = 0$: так как $|0| = 0 < 1$, то $f'(x) = -2x$. Угловой коэффициент $k_2 = f'(0) = -2 \cdot 0 = 0$.

3. Для точки $x_3 = 3$: так как $|3| = 3 \ge 1$, то $f'(x) = 2x$. Угловой коэффициент $k_3 = f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: в точке $x_1 = -2$ угловой коэффициент равен -4; в точке $x_2 = 0$ он равен 0; в точке $x_3 = 3$ он равен 6.

б)

Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } x \ge 0 \\ 2 - x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

Найдем производную функции:

При $x > 0$, $f'(x) = (x^2 + 2)' = 2x$.

При $x < 0$, $f'(x) = (2 - x^2)' = -2x$.

Проверим дифференцируемость в точке $x = 0$.Сначала проверим непрерывность: $f(0) = 0^2+2 = 2$, $\lim_{x\to0^-} (2-x^2) = 2$. Функция непрерывна.Найдем односторонние производные в точке $x = 0$:Правая производная: $f'_+(0) = \lim_{x\to0^+} 2x = 0$.Левая производная: $f'_{-}(0) = \lim_{x\to0^-} (-2x) = 0$.Так как $f'_+(0) = f'_-(0) = 0$, функция дифференцируема в точке $x=0$, и $f'(0) = 0$.

Теперь вычислим угловые коэффициенты в указанных точках:

1. Для точки $x_1 = -1$: так как $-1 < 0$, то $f'(x) = -2x$. Угловой коэффициент $k_1 = f'(-1) = -2 \cdot (-1) = 2$.

2. Для точки $x_2 = 0$: как мы выяснили, $f'(0) = 0$. Угловой коэффициент $k_2 = 0$.

3. Для точки $x_3 = 2$: так как $2 > 0$, то $f'(x) = 2x$. Угловой коэффициент $k_3 = f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$.

Ответ: в точке $x_1 = -1$ угловой коэффициент равен 2; в точке $x_2 = 0$ он равен 0; в точке $x_3 = 2$ он равен 4.

в)

Дана функция $f(x) = \begin{cases} -3x, & \text{если } x \le 0 \\ \sqrt{5x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$.

Найдем производную функции:

При $x < 0$, $f'(x) = (-3x)' = -3$.

При $x > 0$, $f'(x) = (\sqrt{5x})' = ( (5x)^{\frac{1}{2}} )' = \frac{1}{2}(5x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 5 = \frac{5}{2\sqrt{5x}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}$.

В точке $x=0$ функция непрерывна, но недифференцируема, так как левая производная $f'_-(0) = -3$, а правая производная $f'_+(0) = \lim_{x\to0^+} \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}} = +\infty$.

Вычислим угловые коэффициенты в указанных точках:

1. Для точки $x_1 = -1$: так как $-1 \le 0$, то $f'(x) = -3$. Угловой коэффициент $k_1 = f'(-1) = -3$.

2. Для точки $x_2 = 1$: так как $1 > 0$, то $f'(x) = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}$. Угловой коэффициент $k_2 = f'(1) = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{1}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

3. Для точки $x_3 = 5$: так как $5 > 0$, то $f'(x) = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{x}}$. Угловой коэффициент $k_3 = f'(5) = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: в точке $x_1 = -1$ угловой коэффициент равен -3; в точке $x_2 = 1$ он равен $\frac{\sqrt{5}}{2}$; в точке $x_3 = 5$ он равен $\frac{1}{2}$.

г)

Дана функция $f(x) = \begin{cases} \sqrt{4 - 2x}, & \text{если } x \le 2 \\ x - 2, & \text{если } x > 2 \end{cases}$.

Найдем производную функции:

При $x < 2$, $f'(x) = (\sqrt{4 - 2x})' = ( (4-2x)^{\frac{1}{2}} )' = \frac{1}{2}(4-2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2) = \frac{-1}{\sqrt{4 - 2x}}$.

При $x > 2$, $f'(x) = (x - 2)' = 1$.

Вычислим угловые коэффициенты в указанных точках:

1. Для точки $x_1 = -2$: так как $-2 < 2$, то $f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{4 - 2x}}$. Угловой коэффициент $k_1 = f'(-2) = \frac{-1}{\sqrt{4 - 2(-2)}} = \frac{-1}{\sqrt{4+4}} = \frac{-1}{\sqrt{8}} = \frac{-1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

2. Для точки $x_2 = 2$: Проверим дифференцируемость. Функция непрерывна в точке $x=2$, так как $f(2)=\sqrt{4-4}=0$ и $\lim_{x\to2^+}(x-2) = 0$.Найдем односторонние производные:Левая производная: $f'_-(2) = \lim_{x\to2^-} \frac{-1}{\sqrt{4 - 2x}} = -\infty$.Правая производная: $f'_+(2) = \lim_{x\to2^+} 1 = 1$.Поскольку односторонние производные не равны (и левая производная не является конечным числом), функция не является дифференцируемой в точке $x=2$. Касательная в этой точке имеет излом, поэтому угловой коэффициент не существует.

3. Для точки $x_3 = 5$: так как $5 > 2$, то $f'(x) = 1$. Угловой коэффициент $k_3 = f'(5) = 1$.

Ответ: в точке $x_1 = -2$ угловой коэффициент равен $-\frac{\sqrt{2}}{4}$; в точке $x_2 = 2$ угловой коэффициент не существует; в точке $x_3 = 5$ он равен 1.