Номер 43.6, страница 253, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

43.6. a) $f(x) = \sqrt{\text{tg } x}, a = \frac{\pi}{4};$

б) $f(x) = \cos^2 x, a = \frac{\pi}{12};$

в) $f(x) = \text{ctg}^4 x, a = \frac{\pi}{4};$

г) $f(x) = \sqrt{2 - \sin x}, a = \frac{\pi}{2}.$

а) Для функции $f(x) = \sqrt{\tg x}$ в точке $a = \frac{\pi}{4}$.
Сначала найдём производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:$f'(x) = (\sqrt{\tg x})' = \frac{1}{2\sqrt{\tg x}} \cdot (\tg x)' = \frac{1}{2\sqrt{\tg x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2\cos^2 x \sqrt{\tg x}}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $a = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2\cos^2(\frac{\pi}{4}) \sqrt{\tg(\frac{\pi}{4})}}$.
Мы знаем, что $\tg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Подставляем значения:
$f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1}} = \frac{1}{1} = 1$.
Ответ: 1

б) Для функции $f(x) = \cos^2 x$ в точке $a = \frac{\pi}{12}$.
Найдём производную функции по правилу дифференцирования сложной функции:$f'(x) = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$.
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha$, получаем:$f'(x) = -\sin(2x)$.
Вычислим значение производной в точке $a = \frac{\pi}{12}$:
$f'(\frac{\pi}{12}) = -\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.
Поскольку $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, то:
$f'(\frac{\pi}{12}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) Для функции $f(x) = \ctg^4 x$ в точке $a = \frac{\pi}{4}$.
Найдём производную функции:$f'(x) = (\ctg^4 x)' = 4\ctg^3 x \cdot (\ctg x)' = 4\ctg^3 x \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{4\ctg^3 x}{\sin^2 x}$.
Вычислим значение производной в точке $a = \frac{\pi}{4}$:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{4\ctg^3(\frac{\pi}{4})}{\sin^2(\frac{\pi}{4})}$.
Мы знаем, что $\ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $\sin^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$.
Подставляем значения:
$f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{4 \cdot 1^3}{\frac{1}{2}} = -4 \cdot 2 = -8$.
Ответ: -8

г) Для функции $f(x) = \sqrt{2 - \sin x}$ в точке $a = \frac{\pi}{2}$.
Найдём производную функции:$f'(x) = (\sqrt{2 - \sin x})' = \frac{1}{2\sqrt{2 - \sin x}} \cdot (2 - \sin x)' = \frac{1}{2\sqrt{2 - \sin x}} \cdot (-\cos x) = -\frac{\cos x}{2\sqrt{2 - \sin x}}$.
Вычислим значение производной в точке $a = \frac{\pi}{2}$:
$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{2\sqrt{2 - \sin(\frac{\pi}{2})}}$.
Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Подставляем значения:
$f'(\frac{\pi}{2}) = -\frac{0}{2\sqrt{2 - 1}} = -\frac{0}{2\sqrt{1}} = 0$.
Ответ: 0