Номер 42.38, страница 251, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.38. Решите неравенство $(f'(x))^2 > 1$, если:

a) $f(x) = \arcsin 2x$;

б) $f(x) = 2 \arccos \sqrt{x}$.

a) Дана функция $f(x) = \arcsin(2x)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования сложной функции и формулу производной арксинуса $(\arcsin u)' = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$, получаем:

$f'(x) = (\arcsin(2x))' = \frac{(2x)'}{\sqrt{1-(2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

Область определения производной $f'(x)$ задается условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$1-4x^2 > 0$

$4x^2 < 1$

$x^2 < \frac{1}{4}$

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

Теперь решим неравенство $(f'(x))^2 > 1$. Подставим найденную производную:

$\left(\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\right)^2 > 1$

$\frac{4}{1-4x^2} > 1$

Поскольку на области определения производной знаменатель $1-4x^2$ всегда положителен, мы можем умножить обе части неравенства на него, сохранив знак неравенства:

$4 > 1-4x^2$

$3 > -4x^2$

$4x^2 > -3$

$x^2 > -\frac{3}{4}$

Последнее неравенство выполняется для любого действительного значения $x$, так как $x^2 \ge 0$.

Итоговое решение является пересечением множества решений неравенства (все действительные числа) и области определения производной $x \in (-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$.

б) Дана функция $f(x) = 2 \arccos(\sqrt{x})$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования сложной функции и формулу производной арккосинуса $(\arccos u)' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$, получаем:

$f'(x) = (2\arccos(\sqrt{x}))' = 2 \cdot \left(-\frac{(\sqrt{x})'}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{1-x}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}} = -\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$.

Область определения производной $f'(x)$ задается условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$x-x^2 > 0$

$x(1-x) > 0$

Решая это квадратное неравенство (методом интервалов или анализируя параболу), получаем $0 < x < 1$.

Теперь решим неравенство $(f'(x))^2 > 1$. Подставим найденную производную:

$\left(-\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}\right)^2 > 1$

$\frac{1}{x-x^2} > 1$

Поскольку на области определения производной знаменатель $x-x^2$ всегда положителен, мы можем умножить обе части неравенства на него, сохранив знак неравенства:

$1 > x-x^2$

$x^2 - x + 1 > 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - x + 1$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1-4 = -3$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), трехчлен $x^2 - x + 1$ положителен при всех действительных значениях $x$.

Итоговое решение является пересечением множества решений неравенства (все действительные числа) и области определения производной $x \in (0; 1)$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.