Номер 42.33, страница 250, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.33. Найдите производную функции:

a) $y = \arcsin 3x$;

б) $y = \operatorname{arctg} x^2$;

в) $y = (\arccos x)^3$;

г) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$.

а) $y = \arcsin 3x$

Для нахождения производной данной сложной функции применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $f(u) = \arcsin u$, а внутренняя функция $g(x) = 3x$.

Производная внешней функции: $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

Производная внутренней функции: $(3x)' = 3$.

Подставляем $u=3x$ и собираем все вместе:

$y' = (\arcsin 3x)' = \frac{1}{\sqrt{1-(3x)^2}} \cdot (3x)' = \frac{1}{\sqrt{1-9x^2}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$

б) $y = \operatorname{arctg} x^2$

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = \operatorname{arctg} u$, а внутренняя $g(x) = x^2$.

Используем цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная внешней функции: $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{1}{1+u^2}$.

Производная внутренней функции: $(x^2)' = 2x$.

Подставляем $u=x^2$ и находим производную:

$y' = (\operatorname{arctg} x^2)' = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{1+x^4} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^4}$.

Ответ: $y' = \frac{2x}{1+x^4}}$

в) $y = (\arccos x)^3$

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = u^3$, а внутренняя $g(x) = \arccos x$.

Применяем цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная внешней функции (степенной): $(u^3)' = 3u^2$.

Производная внутренней функции: $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Подставляем $u=\arccos x$ и находим производную:

$y' = ((\arccos x)^3)' = 3(\arccos x)^2 \cdot (\arccos x)' = 3(\arccos x)^2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1-x^2}}$.

Ответ: $y' = -\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1-x^2}}$

г) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = \operatorname{arcctg} u$, а внутренняя $g(x) = \sqrt{x}$.

Снова используем цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная внешней функции: $(\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{1}{1+u^2}$.

Производная внутренней функции: $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Подставляем $u=\sqrt{x}$ и находим производную:

$y' = (\operatorname{arcctg} \sqrt{x})' = -\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot (\sqrt{x})' = -\frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$