Номер 42.35, страница 251, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.35. Вычислите скорость изменения функции $y = g(x)$ в точке $x_0$:

a) $g(x) = \operatorname{arctg}(1 - 3x), x_0 = \frac{1}{3};$

б) $g(x) = \arcsin \sqrt{x}, x_0 = 0,25;$

в) $g(x) = \arccos(2x - 3), x_0 = 1,5;$

г) $g(x) = \sqrt{\operatorname{arcctg} x}, x_0 = 0.$

Скорость изменения функции в точке — это значение её производной в этой точке. Чтобы решить задачу, для каждого случая найдем производную функции $g(x)$ и вычислим её значение в точке $x_0$.

а) $g(x) = \operatorname{arctg}(1 - 3x)$, $x_0 = \frac{1}{3}$

Данная функция является сложной. Для нахождения её производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная внешней функции $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{1}{1+u^2}$ и производная внутренней функции $(1-3x)' = -3$.

Тогда производная функции $g(x)$ равна:

$g'(x) = (\operatorname{arctg}(1 - 3x))' = \frac{1}{1 + (1 - 3x)^2} \cdot (1 - 3x)' = \frac{-3}{1 + (1 - 3x)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$:

$g'\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{3}{1 + (1 - 3 \cdot \frac{1}{3})^2} = -\frac{3}{1 + (1 - 1)^2} = -\frac{3}{1 + 0} = -3$.

Ответ: $-3$.

б) $g(x) = \operatorname{arcsin}\sqrt{x}$, $x_0 = 0,25$

Это сложная функция. Используем цепное правило. Производная внешней функции $(\operatorname{arcsin} u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ и производная внутренней функции $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (\operatorname{arcsin}\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot (\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,25 = \frac{1}{4}$:

$g'(0,25) = \frac{1}{2\sqrt{0,25 \cdot (1 - 0,25)}} = \frac{1}{2\sqrt{0,25 \cdot 0,75}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{3}{16}}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

в) $g(x) = \operatorname{arccos}(2x - 3)$, $x_0 = 1,5$

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Производная внешней функции $(\operatorname{arccos} u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ и производная внутренней функции $(2x-3)' = 2$.

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (\operatorname{arccos}(2x - 3))' = -\frac{1}{\sqrt{1 - (2x - 3)^2}} \cdot (2x - 3)' = -\frac{2}{\sqrt{1 - (2x - 3)^2}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1,5$:

$g'(1,5) = -\frac{2}{\sqrt{1 - (2 \cdot 1,5 - 3)^2