Номер 42.35, страница 251, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.35. Вычислите скорость изменения функции $y = g(x)$ в точке $x_0$:

a) $g(x) = \operatorname{arctg}(1 - 3x), x_0 = \frac{1}{3};$

б) $g(x) = \arcsin \sqrt{x}, x_0 = 0,25;$

в) $g(x) = \arccos(2x - 3), x_0 = 1,5;$

г) $g(x) = \sqrt{\operatorname{arcctg} x}, x_0 = 0.$

Скорость изменения функции в точке — это значение её производной в этой точке. Для решения данных примеров воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: $(f(u))' = f'(u) \cdot u'$.

а) $g(x) = \operatorname{arctg}(1 - 3x), x_0 = \frac{1}{3}$

Находим производную, используя формулу $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{1}{1 + u^2} \cdot u'$:

$g'(x) = \frac{1}{1 + (1 - 3x)^2} \cdot (1 - 3x)' = \frac{-3}{1 + (1 - 3x)^2}$

Подставим $x_0 = \frac{1}{3}$:

$g'(\frac{1}{3}) = \frac{-3}{1 + (1 - 3 \cdot \frac{1}{3})^2} = \frac{-3}{1 + (1 - 1)^2} = \frac{-3}{1 + 0} = -3$

Ответ: $-3$

б) $g(x) = \arcsin \sqrt{x}, x_0 = 0,25$

Используем формулу $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u'$:

$g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot (\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставим $x_0 = 0,25$:

$g'(0,25) = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,25}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{0,25}} = \frac{1}{\sqrt{0,75}} \cdot \frac{1}{2 \cdot 0,5} = \frac{1}{\sqrt{3/4}} \cdot 1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

в) $g(x) = \arccos(2x - 3), x_0 = 1,5$

Используем формулу $(\arccos u)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u'$:

$g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - (2x - 3)^2}} \cdot (2x - 3)' = -\frac{2}{\sqrt{1 - (2x - 3)^2}}$

Подставим $x_0 = 1,5$:

$g'(1,5) = -\frac{2}{\sqrt{1 - (2 \cdot 1,5 - 3)^2}} = -\frac{2}{\sqrt{1 - (3 - 3)^2}} = -\frac{2}{\sqrt{1 - 0}} = -2$

Ответ: $-2$

г) $g(x) = \sqrt{\operatorname{arcctg} x}, x_0 = 0$

Применим правило $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$ и формулу $(\operatorname{arcctg} x)' = -\frac{1}{1 + x^2}$:

$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\operatorname{arcctg} x}} \cdot (-\frac{1}{1 + x^2})$

Подставим $x_0 = 0$:

Знаем, что $\operatorname{arcctg} 0 = \frac{\pi}{2}$:

$g'(0) = \frac{1}{2\sqrt{\pi/2}} \cdot (-\frac{1}{1 + 0^2}) = -\frac{1}{2\sqrt{\pi/2}} = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$

После упрощения: $-\frac{\sqrt{2\pi}}{2\pi}$.

Ответ: $-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$