Номер 42.30, страница 250, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Известна производная функции $y = f'(x)$. Укажите, какой формулой можно задать функцию $y = f(x)$:

42.30. a) $f'(x) = 6(2x - 1)^2$;

б) $f'(x) = -20(4 - 5x)^3$.

а)

Для того чтобы найти функцию $f(x)$ по её производной $f'(x)$, необходимо выполнить операцию, обратную дифференцированию, то есть найти первообразную (неопределенный интеграл).

Дана производная $f'(x) = 6(2x - 1)^2$.

Найдём интеграл от этой функции:

$f(x) = \int 6(2x - 1)^2 dx$

Выносим постоянный множитель 6 за знак интеграла:

$f(x) = 6 \int (2x - 1)^2 dx$

Для вычисления интеграла от степенной функции вида $(kx+b)^n$ воспользуемся формулой:

$\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$

В нашем случае $k=2$, $b=-1$ и $n=2$. Подставляем эти значения:

$f(x) = 6 \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 1)^{2+1}}{2+1} \right) + C = 6 \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 1)^3}{3} \right) + C$

Упрощаем выражение:

$f(x) = 6 \cdot \frac{(2x - 1)^3}{6} + C = (2x - 1)^3 + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная.

Для проверки можно найти производную от полученной функции $f(x)$:

$f'(x) = ((2x - 1)^3 + C)' = 3(2x - 1)^2 \cdot (2x-1)' + 0 = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2$.

Производная совпадает с исходной, значит, решение верное.

Ответ: $f(x) = (2x - 1)^3 + C$

б)

Аналогично предыдущему пункту, найдём первообразную для функции $f'(x) = -20(4 - 5x)^3$.

$f(x) = \int -20(4 - 5x)^3 dx$

Выносим константу -20 за знак интеграла:

$f(x) = -20 \int (4 - 5x)^3 dx$

Используем ту же формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $k=-5$, $b=4$ и $n=3$.

$f(x) = -20 \left( \frac{1}{-5} \cdot \frac{(4 - 5x)^{3+1}}{3+1} \right) + C = -20 \left( -\frac{1}{5} \cdot \frac{(4 - 5x)^4}{4} \right) + C$

Упрощаем выражение:

$f(x) = -20 \left( -\frac{(4 - 5x)^4}{20} \right) + C = (4 - 5x)^4 + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная.

Проверим результат дифференцированием:

$f'(x) = ((4 - 5x)^4 + C)' = 4(4 - 5x)^3 \cdot (4-5x)' + 0 = 4(4 - 5x)^3 \cdot (-5) = -20(4 - 5x)^3$.

Результат совпадает с функцией, данной в условии.

Ответ: $f(x) = (4 - 5x)^4 + C$