Страница 250, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

42.26. Решите неравенство $g'(x) > 0$, если:

a) $g(x) = \frac{(2x - 1)^4}{(3x + 2)^5};$

б) $g(x) = \frac{(4 - 3x)^4}{(5x - 4)^3}.$

а)

Дана функция $g(x) = \frac{(2x - 1)^4}{(3x + 2)^5}$. Чтобы решить неравенство $g'(x) > 0$, сначала найдем производную функции $g(x)$.

Воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = (2x - 1)^4$ и $v(x) = (3x + 2)^5$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:
$u'(x) = ((2x - 1)^4)' = 4(2x - 1)^3 \cdot (2x - 1)' = 4(2x - 1)^3 \cdot 2 = 8(2x - 1)^3$.
$v'(x) = ((3x + 2)^5)' = 5(3x + 2)^4 \cdot (3x + 2)' = 5(3x + 2)^4 \cdot 3 = 15(3x + 2)^4$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:
$g'(x) = \frac{8(2x - 1)^3 (3x + 2)^5 - (2x - 1)^4 \cdot 15(3x + 2)^4}{((3x + 2)^5)^2}$.

Упростим выражение, вынеся общие множители в числителе за скобки:
$g'(x) = \frac{(2x - 1)^3 (3x + 2)^4 [8(3x + 2) - 15(2x - 1)]}{(3x + 2)^{10}}$.

Раскроем скобки в выражении $[8(3x + 2) - 15(2x - 1)]$:
$8(3x + 2) - 15(2x - 1) = 24x + 16 - 30x + 15 = -6x + 31$.

Подставим упрощенное выражение обратно в производную и сократим дробь:
$g'(x) = \frac{(2x - 1)^3 (3x + 2)^4 (-6x + 31)}{(3x + 2)^{10}} = \frac{(2x - 1)^3 (31 - 6x)}{(3x + 2)^6}$.

Теперь решим неравенство $g'(x) > 0$:
$\frac{(2x - 1)^3 (31 - 6x)}{(3x + 2)^6} > 0$.

Знаменатель $(3x + 2)^6$ всегда больше или равен нулю, так как показатель степени четный. Он равен нулю при $x = -2/3$. В остальных точках он положителен. Область определения функции и ее производной: $x \neq -2/3$.
Таким образом, знак дроби совпадает со знаком числителя при $x \neq -2/3$.
Решаем неравенство: $(2x - 1)^3 (31 - 6x) > 0$.

Поскольку нечетная степень не влияет на знак, неравенство эквивалентно следующему:
$(2x - 1)(31 - 6x) > 0$.

Найдем корни левой части: $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/2$; $31 - 6x = 0 \Rightarrow x = 31/6$.
Нанесем корни на числовую ось и определим знаки на интервалах.
Для $x > 31/6$, $(2x - 1) > 0$ и $(31 - 6x) < 0$, произведение отрицательно.
Для $1/2 < x < 31/6$, $(2x - 1) > 0$ и $(31 - 6x) > 0$, произведение положительно.
Для $x < 1/2$, $(2x - 1) < 0$ и $(31 - 6x) > 0$, произведение отрицательно.
Точка $x = -2/3$ не входит в искомый интервал.

Неравенство выполняется на интервале $(1/2, 31/6)$.

Ответ: $x \in (1/2, 31/6)$.

б)

Дана функция $g(x) = \frac{(4 - 3x)^4}{(5x - 4)^3}$. Чтобы решить неравенство $g'(x) > 0$, сначала найдем производную функции $g(x)$.

Воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = (4 - 3x)^4$ и $v(x) = (5x - 4)^3$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = ((4 - 3x)^4)' = 4(4 - 3x)^3 \cdot (4 - 3x)' = 4(4 - 3x)^3 \cdot (-3) = -12(4 - 3x)^3$.
$v'(x) = ((5x - 4)^3)' = 3(5x - 4)^2 \cdot (5x - 4)' = 3(5x - 4)^2 \cdot 5 = 15(5x - 4)^2$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:
$g'(x) = \frac{-12(4 - 3x)^3 (5x - 4)^3 - (4 - 3x)^4 \cdot 15(5x - 4)^2}{((5x - 4)^3)^2}$.

Упростим выражение, вынеся общие множители в числителе за скобки:
$g'(x) = \frac{(4 - 3x)^3 (5x - 4)^2 [-12(5x - 4) - 15(4 - 3x)]}{(5x - 4)^6}$.

Раскроем скобки в выражении $[-12(5x - 4) - 15(4 - 3x)]$:
$-12(5x - 4) - 15(4 - 3x) = -60x + 48 - 60 + 45x = -15x - 12 = -3(5x + 4)$.

Подставим упрощенное выражение обратно в производную и сократим дробь:
$g'(x) = \frac{(4 - 3x)^3 (5x - 4)^2 (-3(5x + 4))}{(5x - 4)^6} = \frac{-3(4 - 3x)^3 (5x + 4)}{(5x - 4)^4}$.

Теперь решим неравенство $g'(x) > 0$:
$\frac{-3(4 - 3x)^3 (5x + 4)}{(5x - 4)^4} > 0$.

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства:
$\frac{(4 - 3x)^3 (5x + 4)}{(5x - 4)^4} < 0$.

Знаменатель $(5x - 4)^4$ всегда больше или равен нулю. Он равен нулю при $x = 4/5$. В остальных точках он положителен. Область определения функции и ее производной: $x \neq 4/5$.
Таким образом, знак дроби совпадает со знаком числителя при $x \neq 4/5$.
Решаем неравенство: $(4 - 3x)^3 (5x + 4) < 0$.

Это неравенство эквивалентно следующему:
$(4 - 3x)(5x + 4) < 0$.

Найдем корни левой части: $4 - 3x = 0 \Rightarrow x = 4/3$; $5x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4/5$.
Раскрыв скобки, получим $-15x^2 + 8x + 16 < 0$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, она принимает отрицательные значения вне интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $x < -4/5$ или $x > 4/3$.
Исключенная точка $x = 4/5$ не попадает в эти интервалы.

Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4/5) \cup (4/3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4/5) \cup (4/3; +\infty)$.

42.27. Проверьте равенство $g'(x) = f(x)$, если:

a) $g(x) = (1 - x^2) \sin x^2 - \cos x^2, f(x) = 2(x - x^3) \cos x^2;$

б) $g(x) = (x^2 - 1,5) \cos 2x - x \sin 2x, f(x) = (2 - 2x^2) \sin 2x.$

а)

Даны функции $g(x) = (1 - x^2) \sin x^2 - \cos x^2$ и $f(x) = 2(x - x^3) \cos x^2$.

Для проверки равенства $g'(x) = f(x)$ необходимо найти производную функции $g(x)$.

Производная функции $g(x)$ находится как производная разности двух функций: $(u-v)' = u' - v'$.

Найдем производную первого слагаемого $u(x) = (1 - x^2) \sin x^2$, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.

$((1 - x^2) \sin x^2)' = (1 - x^2)' \sin x^2 + (1 - x^2) (\sin x^2)'$

Здесь $(1 - x^2)' = -2x$ и $(\sin x^2)' = \cos x^2 \cdot (x^2)' = 2x \cos x^2$.

Тогда:

$((1 - x^2) \sin x^2)' = -2x \sin x^2 + (1 - x^2)(2x \cos x^2) = -2x \sin x^2 + 2x \cos x^2 - 2x^3 \cos x^2$

Теперь найдем производную второго слагаемого $v(x) = \cos x^2$:

$(\cos x^2)' = -\sin x^2 \cdot (x^2)' = -2x \sin x^2$

Теперь найдем $g'(x)$, вычитая вторую производную из первой:

$g'(x) = (-2x \sin x^2 + 2x \cos x^2 - 2x^3 \cos x^2) - (-2x \sin x^2)$

$g'(x) = -2x \sin x^2 + 2x \cos x^2 - 2x^3 \cos x^2 + 2x \sin x^2$

Сокращаем подобные слагаемые:

$g'(x) = 2x \cos x^2 - 2x^3 \cos x^2$

Вынесем общий множитель за скобки:

$g'(x) = 2x(1 - x^2) \cos x^2$

Преобразуем данную функцию $f(x)$:

$f(x) = 2(x - x^3) \cos x^2 = 2x(1 - x^2) \cos x^2$

Сравнивая полученное выражение для $g'(x)$ с $f(x)$, мы видим, что они идентичны. Следовательно, равенство $g'(x) = f(x)$ верно.

Ответ: Равенство $g'(x) = f(x)$ верно.

б)

Даны функции $g(x) = (x^2 - 1,5) \cos 2x - x \sin 2x$ и $f(x) = (2 - 2x^2) \sin 2x$.

Для проверки равенства $g'(x) = f(x)$ необходимо найти производную функции $g(x)$.

Функция $g(x)$ является разностью двух выражений, производную которых мы найдем по отдельности, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$ и правило дифференцирования сложной функции.

Производная первого выражения $(x^2 - 1,5) \cos 2x$:

$((x^2 - 1,5) \cos 2x)' = (x^2 - 1,5)' \cos 2x + (x^2 - 1,5) (\cos 2x)'$

Здесь $(x^2 - 1,5)' = 2x$ и $(\cos 2x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -2 \sin 2x$.

$((x^2 - 1,5) \cos 2x)' = 2x \cos 2x + (x^2 - 1,5)(-2 \sin 2x) = 2x \cos 2x - 2(x^2 - 1,5)\sin 2x = 2x \cos 2x - 2x^2 \sin 2x + 3 \sin 2x$

Производная второго выражения $x \sin 2x$:

$(x \sin 2x)' = (x)' \sin 2x + x (\sin 2x)'$

Здесь $(x)' = 1$ и $(\sin 2x)' = \cos 2x \cdot (2x)' = 2 \cos 2x$.

$(x \sin 2x)' = 1 \cdot \sin 2x + x \cdot (2 \cos 2x) = \sin 2x + 2x \cos 2x$

Теперь найдем $g'(x)$, вычитая вторую производную из первой:

$g'(x) = (2x \cos 2x - 2x^2 \sin 2x + 3 \sin 2x) - (\sin 2x + 2x \cos 2x)$

$g'(x) = 2x \cos 2x - 2x^2 \sin 2x + 3 \sin 2x - \sin 2x - 2x \cos 2x$

Сокращаем подобные слагаемые:

$g'(x) = -2x^2 \sin 2x + 2 \sin 2x$

Вынесем общий множитель $2 \sin 2x$ за скобки:

$g'(x) = (2 - 2x^2) \sin 2x$

Сравнивая полученное выражение для $g'(x)$ с данной функцией $f(x) = (2 - 2x^2) \sin 2x$, мы видим, что они совпадают. Следовательно, равенство $g'(x) = f(x)$ верно.

Ответ: Равенство $g'(x) = f(x)$ верно.

42.28. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию

$f'(x) = g'(x)$, если:

a) $f(x) = \sin (2x - 3)$, $g(x) = \cos (2x - 3)$;

б) $f(x) = \sqrt{3x - 10}$, $g(x) = \sqrt{14 + 6x}$.

а) Даны функции $f(x) = \sin(2x - 3)$ и $g(x) = \cos(2x - 3)$. Необходимо найти значения аргумента $x$, для которых выполняется условие $f'(x) = g'(x)$.

Сначала найдем производные данных функций. Будем использовать правило дифференцирования сложной функции: $(h(u(x)))' = h'(u) \cdot u'(x)$.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin(2x - 3))' = \cos(2x - 3) \cdot (2x - 3)' = 2\cos(2x - 3)$.

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (\cos(2x - 3))' = -\sin(2x - 3) \cdot (2x - 3)' = -2\sin(2x - 3)$.

Теперь приравняем производные:

$f'(x) = g'(x)$

$2\cos(2x - 3) = -2\sin(2x - 3)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\cos(2x - 3) = -\sin(2x - 3)$

Разделим обе части на $\cos(2x - 3)$. Это можно сделать, так как если $\cos(2x - 3) = 0$, то $\sin(2x - 3) = \pm 1$, и равенство $0 = -(\pm 1)$ неверно. Следовательно, $\cos(2x - 3) \neq 0$.

$1 = -\frac{\sin(2x - 3)}{\cos(2x - 3)}$

$1 = -\tan(2x - 3)$

$\tan(2x - 3) = -1$

Решим полученное тригонометрическое уравнение:

$2x - 3 = \arctan(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x - 3 = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $x$:

$2x = 3 - \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Даны функции $f(x) = \sqrt{3x - 10}$ и $g(x) = \sqrt{14 + 6x}$. Необходимо найти значения аргумента $x$, для которых выполняется условие $f'(x) = g'(x)$.

Сначала определим область определения для производных. Производная функции $\sqrt{u}$ существует, когда подкоренное выражение строго больше нуля.

Для $f'(x)$: $3x - 10 > 0 \implies 3x > 10 \implies x > \frac{10}{3}$.

Для $g'(x)$: $14 + 6x > 0 \implies 6x > -14 \implies x > -\frac{14}{6} \implies x > -\frac{7}{3}$.

Общая область определения для уравнения $f'(x) = g'(x)$ — это пересечение этих условий, то есть $x > \frac{10}{3}$.

Теперь найдем производные, используя правило $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{3x - 10})' = \frac{(3x - 10)'}{2\sqrt{3x - 10}} = \frac{3}{2\sqrt{3x - 10}}$.

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (\sqrt{14 + 6x})' = \frac{(14 + 6x)'}{2\sqrt{14 + 6x}} = \frac{6}{2\sqrt{14 + 6x}} = \frac{3}{\sqrt{14 + 6x}}$.

Приравняем производные:

$\frac{3}{2\sqrt{3x - 10}} = \frac{3}{\sqrt{14 + 6x}}$

Поскольку числители равны 3 (и не равны нулю), мы можем приравнять знаменатели:

$2\sqrt{3x - 10} = \sqrt{14 + 6x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2\sqrt{3x - 10})^2 = (\sqrt{14 + 6x})^2$

$4(3x - 10) = 14 + 6x$

Раскроем скобки и решим линейное уравнение:

$12x - 40 = 14 + 6x$

$12x - 6x = 14 + 40$

$6x = 54$

$x = \frac{54}{6}$

$x = 9$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень области определения $x > \frac{10}{3}$. Так как $9 > 3\frac{1}{3}$, корень $x=9$ является решением.

Ответ: $x = 9$.

42.29. Определите абсциссы точек, в которых касательные к графику функции $y = h(x)$ образуют с положительным направлением оси абсцисс заданный угол $\alpha$:

a) $h(x) = 2 \cdot \sqrt{2x - 4}$, $\alpha = 60^{\circ}$;

б) $h(x) = \sin \left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$, $\alpha = 0^{\circ}$.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $h(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент $k$ касательной связан с углом $\alpha$ ее наклона к положительному направлению оси абсцисс соотношением $k = \tan(\alpha)$. Таким образом, чтобы найти абсциссы искомых точек, нужно решить уравнение $h'(x) = \tan(\alpha)$.

Дана функция $h(x) = 2 \cdot \sqrt{2x - 4}$ и угол $\alpha = 60°$.

1. Найдем производную функции $h(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$h'(x) = (2\sqrt{2x - 4})' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x - 4}} \cdot (2x - 4)' = \frac{1}{\sqrt{2x - 4}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{2x - 4}}$.

Область определения производной: $2x - 4 > 0$, то есть $x > 2$.

2. Найдем тангенс заданного угла наклона:

$k = \tan(\alpha) = \tan(60°) = \sqrt{3}$.

3. Приравняем производную к тангенсу угла наклона и решим уравнение:

$h'(x) = k$

$\frac{2}{\sqrt{2x - 4}} = \sqrt{3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{4}{2x - 4} = 3$

$4 = 3(2x - 4)$

$4 = 6x - 12$

$6x = 16$

$x = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.

4. Проверим, принадлежит ли найденное значение области определения производной.

Так как $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, то $x = \frac{8}{3} > 2$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{8}{3}$.

Дана функция $h(x) = \sin(4x - \frac{\pi}{3})$ и угол $\alpha = 0°$.

1. Найдем производную функции $h(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$h'(x) = (\sin(4x - \frac{\pi}{3}))' = \cos(4x - \frac{\pi}{3}) \cdot (4x - \frac{\pi}{3})' = 4\cos(4x - \frac{\pi}{3})$.

Область определения производной — все действительные числа.

2. Найдем тангенс заданного угла наклона:

$k = \tan(\alpha) = \tan(0°) = 0$.

3. Приравняем производную к тангенсу угла наклона и решим уравнение:

$h'(x) = k$

$4\cos(4x - \frac{\pi}{3}) = 0$

$\cos(4x - \frac{\pi}{3}) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения имеют вид:

$4x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел).

Выразим $x$:

$4x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + \pi n$

$4x = \frac{2\pi + 3\pi}{6} + \pi n$

$4x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$

$x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Известна производная функции $y = f'(x)$. Укажите, какой формулой можно задать функцию $y = f(x)$:

42.30. a) $f'(x) = 6(2x - 1)^2$;

б) $f'(x) = -20(4 - 5x)^3$.

а)

Для того чтобы найти функцию $f(x)$ по её производной $f'(x)$, необходимо выполнить операцию, обратную дифференцированию, то есть найти первообразную (неопределенный интеграл).

Дана производная $f'(x) = 6(2x - 1)^2$.

Найдём интеграл от этой функции:

$f(x) = \int 6(2x - 1)^2 dx$

Выносим постоянный множитель 6 за знак интеграла:

$f(x) = 6 \int (2x - 1)^2 dx$

Для вычисления интеграла от степенной функции вида $(kx+b)^n$ воспользуемся формулой:

$\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$

В нашем случае $k=2$, $b=-1$ и $n=2$. Подставляем эти значения:

$f(x) = 6 \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 1)^{2+1}}{2+1} \right) + C = 6 \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 1)^3}{3} \right) + C$

Упрощаем выражение:

$f(x) = 6 \cdot \frac{(2x - 1)^3}{6} + C = (2x - 1)^3 + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная.

Для проверки можно найти производную от полученной функции $f(x)$:

$f'(x) = ((2x - 1)^3 + C)' = 3(2x - 1)^2 \cdot (2x-1)' + 0 = 3(2x - 1)^2 \cdot 2 = 6(2x - 1)^2$.

Производная совпадает с исходной, значит, решение верное.

Ответ: $f(x) = (2x - 1)^3 + C$

б)

Аналогично предыдущему пункту, найдём первообразную для функции $f'(x) = -20(4 - 5x)^3$.

$f(x) = \int -20(4 - 5x)^3 dx$

Выносим константу -20 за знак интеграла:

$f(x) = -20 \int (4 - 5x)^3 dx$

Используем ту же формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \cdot \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $k=-5$, $b=4$ и $n=3$.

$f(x) = -20 \left( \frac{1}{-5} \cdot \frac{(4 - 5x)^{3+1}}{3+1} \right) + C = -20 \left( -\frac{1}{5} \cdot \frac{(4 - 5x)^4}{4} \right) + C$

Упрощаем выражение:

$f(x) = -20 \left( -\frac{(4 - 5x)^4}{20} \right) + C = (4 - 5x)^4 + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная.

Проверим результат дифференцированием:

$f'(x) = ((4 - 5x)^4 + C)' = 4(4 - 5x)^3 \cdot (4-5x)' + 0 = 4(4 - 5x)^3 \cdot (-5) = -20(4 - 5x)^3$.

Результат совпадает с функцией, данной в условии.

Ответ: $f(x) = (4 - 5x)^4 + C$

42.31. a) $f'(x) = \frac{2}{(2x + 3)^2}$

б) $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x - 7}}$

а)

Для нахождения функции $f(x)$ по её производной $f'(x)$ необходимо найти неопределенный интеграл от $f'(x)$.

$f(x) = \int f'(x) \,dx = \int \frac{2}{(2x + 3)^2} \,dx$

Чтобы вычислить этот интеграл, представим подынтегральное выражение в виде степенной функции и воспользуемся методом замены переменной.

$f(x) = \int 2(2x + 3)^{-2} \,dx$

Пусть $u = 2x + 3$. Тогда найдем дифференциал $du$: $du = (2x + 3)'dx = 2dx$.

Теперь подставим $u$ и $du$ в интеграл:

$\int (2x + 3)^{-2} \cdot (2dx) = \int u^{-2} \,du$

Используем табличный интеграл для степенной функции $\int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int u^{-2} \,du = \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C$

Выполним обратную замену, подставив $2x + 3$ вместо $u$:

$f(x) = -\frac{1}{2x + 3} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Для проверки выполним дифференцирование найденной функции:

$f'(x) = \left(-\frac{1}{2x + 3} + C\right)' = \left(-(2x+3)^{-1}\right)' = -(-1)(2x+3)^{-2} \cdot (2x+3)' = (2x+3)^{-2} \cdot 2 = \frac{2}{(2x+3)^2}$

Результат совпадает с исходной производной, следовательно, решение верно.

Ответ: $f(x) = -\frac{1}{2x + 3} + C$.

б)

Для нахождения функции $f(x)$ по её производной $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}}$ найдем соответствующий неопределенный интеграл.

$f(x) = \int \frac{5}{2\sqrt{5x-7}} \,dx$

Перепишем подынтегральное выражение, используя степенное представление корня, и вынесем константу за знак интеграла:

$f(x) = \frac{1}{2} \int 5(5x-7)^{-1/2} \,dx$

Применим метод замены переменной. Пусть $u = 5x - 7$. Тогда дифференциал $du = (5x - 7)'dx = 5dx$.

Подставим $u$ и $du$ в интеграл:

$\frac{1}{2} \int (5x-7)^{-1/2} \cdot (5dx) = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} \,du$

Используем табличный интеграл для степенной функции $\int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$:

$\frac{1}{2} \int u^{-1/2} \,du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = u^{1/2} + C = \sqrt{u} + C$

Выполним обратную замену, подставив $5x - 7$ вместо $u$:

$f(x) = \sqrt{5x - 7} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Для проверки выполним дифференцирование найденной функции:

$f'(x) = \left(\sqrt{5x-7} + C\right)' = \left((5x-7)^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}(5x-7)^{-1/2} \cdot (5x-7)' = \frac{1}{2\sqrt{5x-7}} \cdot 5 = \frac{5}{2\sqrt{5x-7}}$

Результат совпадает с исходной производной, следовательно, решение верно.

Ответ: $f(x) = \sqrt{5x - 7} + C$.

42.32. a) $f(x) = \sin \left( 3x - \frac{\pi}{3} \right)$;

б) $f'(x) = \frac{4}{\cos^2(5x-1)}$.

а)

Задача состоит в нахождении функции $f(x)$ по ее производной $f'(x)$. Это означает, что нам нужно найти первообразную для данной функции, то есть вычислить неопределенный интеграл.

$f'(x) = \sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)$

$f(x) = \int \sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) dx$

Для вычисления этого интеграла воспользуемся табличной формулой для первообразной синуса и правилом интегрирования сложной функции. Общая формула для первообразной функции $\sin(kx+b)$ имеет вид:

$\int \sin(kx+b) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$

В нашем случае коэффициент $k=3$ и сдвиг $b = -\frac{\pi}{3}$. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$f(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) + C$

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Для проверки правильности результата найдем производную от полученной функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(-\frac{1}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) + C\right)' = -\frac{1}{3} \cdot \left(-\sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)\right) \cdot (3x - \frac{\pi}{3})' = \frac{1}{3}\sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) \cdot 3 = \sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)$

Производная совпала с исходной функцией, значит, первообразная найдена верно.

Ответ: $f(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) + C$

б)

Аналогично пункту а), найдем функцию $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл от ее производной $f'(x)$.

$f'(x) = \frac{4}{\cos^2(5x - 1)}$

$f(x) = \int \frac{4}{\cos^2(5x - 1)} dx$

Вынесем постоянный множитель 4 за знак интеграла:

$f(x) = 4 \int \frac{1}{\cos^2(5x - 1)} dx$

Воспользуемся табличной формулой для первообразной функции $\frac{1}{\cos^2(x)}$ и правилом интегрирования сложной функции. Общая формула для первообразной функции $\frac{1}{\cos^2(kx+b)}$:

$\int \frac{1}{\cos^2(kx+b)} dx = \frac{1}{k}\tan(kx+b) + C$

В нашем случае коэффициент $k=5$ и сдвиг $b = -1$. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$f(x) = 4 \cdot \frac{1}{5}\tan(5x - 1) + C = \frac{4}{5}\tan(5x - 1) + C$

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Для проверки правильности результата найдем производную от полученной функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{4}{5}\tan(5x - 1) + C\right)' = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\cos^2(5x - 1)} \cdot (5x-1)' = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\cos^2(5x - 1)} \cdot 5 = \frac{4}{\cos^2(5x - 1)}$

Производная совпала с исходной функцией, значит, первообразная найдена верно.

Ответ: $f(x) = \frac{4}{5}\tan(5x - 1) + C$

42.33. Найдите производную функции:

a) $y = \arcsin 3x$;

б) $y = \operatorname{arctg} x^2$;

в) $y = (\arccos x)^3$;

г) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$.

а) $y = \arcsin 3x$

Для нахождения производной данной сложной функции применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $f(u) = \arcsin u$, а внутренняя функция $g(x) = 3x$.

Производная внешней функции: $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.

Производная внутренней функции: $(3x)' = 3$.

Подставляем $u=3x$ и собираем все вместе:

$y' = (\arcsin 3x)' = \frac{1}{\sqrt{1-(3x)^2}} \cdot (3x)' = \frac{1}{\sqrt{1-9x^2}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$

б) $y = \operatorname{arctg} x^2$

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = \operatorname{arctg} u$, а внутренняя $g(x) = x^2$.

Используем цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная внешней функции: $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{1}{1+u^2}$.

Производная внутренней функции: $(x^2)' = 2x$.

Подставляем $u=x^2$ и находим производную:

$y' = (\operatorname{arctg} x^2)' = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{1+x^4} \cdot 2x = \frac{2x}{1+x^4}$.

Ответ: $y' = \frac{2x}{1+x^4}}$

в) $y = (\arccos x)^3$

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = u^3$, а внутренняя $g(x) = \arccos x$.

Применяем цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная внешней функции (степенной): $(u^3)' = 3u^2$.

Производная внутренней функции: $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Подставляем $u=\arccos x$ и находим производную:

$y' = ((\arccos x)^3)' = 3(\arccos x)^2 \cdot (\arccos x)' = 3(\arccos x)^2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1-x^2}}$.

Ответ: $y' = -\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1-x^2}}$

г) $y = \operatorname{arcctg} \sqrt{x}$

Это сложная функция, где внешняя функция $f(u) = \operatorname{arcctg} u$, а внутренняя $g(x) = \sqrt{x}$.

Снова используем цепное правило: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Производная внешней функции: $(\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{1}{1+u^2}$.

Производная внутренней функции: $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Подставляем $u=\sqrt{x}$ и находим производную:

$y' = (\operatorname{arcctg} \sqrt{x})' = -\frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot (\sqrt{x})' = -\frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

42.34. Найдите значение производной функции в точке $x_0$:

a) $y = (\arccos x)^3, x_0 = 0;$

б) $y = \frac{2}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}\frac{2x+1}{\sqrt{3}}, x_0 = -1;$

в) $y = \arcsin \sqrt{x}, x_0 = \frac{1}{2};$

г) $y = \arccos \frac{2-x}{x\sqrt{2}}, x_0 = 1.$

а) Дана функция $y = (\arccos x)^3$ и точка $x_0 = 0$.
Для нахождения значения производной в точке, сначала найдем производную функции $y'(x)$. Это сложная функция, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Пусть внешняя функция $f(u) = u^3$, а внутренняя $g(x) = \arccos x$.
Их производные: $f'(u) = 3u^2$ и $g'(x) = (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
Тогда производная исходной функции равна:
$y' = 3(\arccos x)^2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1-x^2}}$.
Теперь подставим значение $x_0 = 0$ в выражение для производной:
$y'(0) = -\frac{3(\arccos 0)^2}{\sqrt{1-0^2}}$.
Мы знаем, что $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$.
$y'(0) = -\frac{3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}{\sqrt{1}} = -3 \cdot \frac{\pi^2}{4} = -\frac{3\pi^2}{4}$.
Ответ: $-\frac{3\pi^2}{4}$.

б) Дана функция $y = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}$ и точка $x_0 = -1$.
Найдем производную $y'(x)$ по цепному правилу. Пусть $u = \frac{2x+1}{\sqrt{3}}$.
$y' = \left(\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan u\right)' = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot (\arctan u)' \cdot u'$.
Производная арктангенса $(\arctan u)' = \frac{1}{1+u^2}$.
Производная внутренней функции $u' = \left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)' = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Собираем все вместе:
$y' = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{(2x+1)^2}{3}}$.
Упростим выражение:
$y' = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 + (2x+1)^2}{3}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{3 + 4x^2 + 4x + 1} = \frac{4}{4x^2 + 4x + 4} = \frac{4}{4(x^2+x+1)} = \frac{1}{x^2+x+1}$.
Теперь подставим значение $x_0 = -1$:
$y'(-1) = \frac{1}{(-1)^2 + (-1) + 1} = \frac{1}{1 - 1 + 1} = \frac{1}{1} = 1$.
Ответ: $1$.

в) Дана функция $y = \arcsin\sqrt{x}$ и точка $x_0 = \frac{1}{2}$.
Найдем производную $y'(x)$ по цепному правилу. Пусть $u = \sqrt{x}$.
$y' = (\arcsin u)' \cdot u'$.
Производная арксинуса $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.
Производная внутренней функции $u' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Тогда:
$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$.
Подставим значение $x_0 = \frac{1}{2}$:
$y'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1$.
Ответ: $1$.

г) Дана функция $y = \arccos\frac{2-x}{x\sqrt{2}}$ и точка $x_0 = 1$.
Найдем производную $y'(x)$, используя цепное правило и правило дифференцирования частного.
Пусть $u = \frac{2-x}{x\sqrt{2}}$. Тогда $y' = (\arccos u)' \cdot u' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$.
Найдем $u'$ по правилу частного $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$:
$u' = \frac{(2-x)'(x\sqrt{2}) - (2-x)(x\sqrt{2})'}{(x\sqrt{2})^2} = \frac{(-1)(x\sqrt{2}) - (2-x)(\sqrt{2})}{2x^2} = \frac{-x\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + x\sqrt{2}}{2x^2} = \frac{-2\sqrt{2}}{2x^2} = -\frac{\sqrt{2}}{x^2}$.
Подставим $u$ и $u'$ в формулу производной:
$y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{2-x}{x\sqrt{2}}\right)^2}} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{x^2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{x^2\sqrt{1 - \frac{(2-x)^2}{2x^2}}}$.
Упростим выражение под корнем:
$y' = \frac{\sqrt{2}}{x^2\sqrt{\frac{2x^2 - (4-4x+x^2)}{2x^2}}} = \frac{\sqrt{2}}{x^2\frac{\sqrt{x^2+4x-4}}{\sqrt{2x^2}}} = \frac{\sqrt{2} \cdot x\sqrt{2}}{x^2\sqrt{x^2+4x-4}} = \frac{2x}{x^2\sqrt{x^2+4x-4}} = \frac{2}{x\sqrt{x^2+4x-4}}$.
Теперь подставим значение $x_0 = 1$:
$y'(1) = \frac{2}{1 \cdot \sqrt{1^2 + 4(1) - 4}} = \frac{2}{\sqrt{1+4-4}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2$.
Ответ: $2$.