Страница 247, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

42.4. a) $y = \cos^2 x - \sin^2 x;$

б) $y = 2 \sin x \cdot \cos x;$

В) $y = 1 - 2 \sin^2 3x;$

Г) $y = \sin^2 3x + \cos^2 3x.$

а) Дана функция $y = \cos^2 x - \sin^2 x$. Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. В нашем случае $\alpha = x$. Применяя эту формулу, получаем: $y = \cos(2x)$.
Ответ: $y = \cos(2x)$.

б) Дана функция $y = 2 \sin x \cdot \cos x$. Это выражение является формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. В данном случае $\alpha = x$. Подставляя в формулу, находим: $y = \sin(2x)$.
Ответ: $y = \sin(2x)$.

в) Дана функция $y = 1 - 2 \sin^2 3x$. Это выражение также соответствует одной из форм формулы косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2 \sin^2 \alpha$. В этой задаче аргумент $\alpha = 3x$. Следовательно, мы можем упростить функцию следующим образом: $y = \cos(2 \cdot 3x) = \cos(6x)$.
Ответ: $y = \cos(6x)$.

г) Дана функция $y = \sin^2 3x + \cos^2 3x$. Для упрощения используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Это тождество справедливо для любого значения аргумента $\alpha$. В нашем случае $\alpha = 3x$. Таким образом, выражение упрощается до константы: $y = 1$.
Ответ: $y = 1$.

42.5. a) $y = \sin 3x \cos 5x + \cos 3x \sin 5x;$

б) $y = \cos 4x \cos 6x - \sin 4x \sin 6x;$

в) $y = \sin 7x \cos 3x - \cos 7x \sin 3x;$

г) $y = \cos \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{6} + \sin \frac{x}{3} \cdot \sin \frac{x}{6}.$

Для решения данных задач используются тригонометрические формулы сложения:

• Синус суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
• Синус разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
• Косинус суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
• Косинус разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

а) $y = \sin 3x \cos 5x + \cos 3x \sin 5x$

Это выражение соответствует формуле синуса суммы, где $\alpha = 3x$ и $\beta = 5x$.

Применяем формулу:

$y = \sin(3x + 5x) = \sin(8x)$

Ответ: $y = \sin(8x)$.

б) $y = \cos 4x \cos 6x - \sin 4x \sin 6x$

Это выражение соответствует формуле косинуса суммы, где $\alpha = 4x$ и $\beta = 6x$.

Применяем формулу:

$y = \cos(4x + 6x) = \cos(10x)$

Ответ: $y = \cos(10x)$.

в) $y = \sin 7x \cos 3x - \cos 7x \sin 3x$

Это выражение соответствует формуле синуса разности, где $\alpha = 7x$ и $\beta = 3x$.

Применяем формулу:

$y = \sin(7x - 3x) = \sin(4x)$

Ответ: $y = \sin(4x)$.

г) $y = \cos \frac{x}{3} \cos \frac{x}{6} + \sin \frac{x}{3} \sin \frac{x}{6}$

Это выражение соответствует формуле косинуса разности, где $\alpha = \frac{x}{3}$ и $\beta = \frac{x}{6}$.

Применяем формулу:

$y = \cos(\frac{x}{3} - \frac{x}{6})$

Выполним вычитание в аргументе косинуса, приведя дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{x}{3} - \frac{x}{6} = \frac{2x}{6} - \frac{x}{6} = \frac{2x-x}{6} = \frac{x}{6}$

Следовательно:

$y = \cos(\frac{x}{6})$

Ответ: $y = \cos(\frac{x}{6})$.

42.6. a) $y = (1 - x^3)^5;$

б) $y = \sqrt{x^3 + 3x^2 - 2x + 1};$

в) $y = \frac{1}{(x^2 - 7x + 8)^2};$

г) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2 + 5}}.$

а) Данная функция $y = (1 - x^3)^5$ является сложной. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
В нашем случае, внешняя функция $f(u) = u^5$, а внутренняя функция $g(x) = 1 - x^3$.
Находим производные этих функций:
$f'(u) = (u^5)' = 5u^4$.
$g'(x) = (1 - x^3)' = -3x^2$.
Теперь подставляем найденные производные в формулу цепного правила, заменяя $u$ на $g(x)$:
$y' = 5(1 - x^3)^4 \cdot (-3x^2)$.
Упрощаем выражение:
$y' = -15x^2(1 - x^3)^4$.
Ответ: $y' = -15x^2(1 - x^3)^4$.

б) Функция $y = \sqrt{x^3 + 3x^2 - 2x + 1}$ является сложной. Представим ее в виде $y = (x^3 + 3x^2 - 2x + 1)^{1/2}$.
Применим правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = u^{1/2}$ (или $f(u) = \sqrt{u}$), внутренняя функция $g(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 1$.
Находим их производные:
$f'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.
$g'(x) = (x^3 + 3x^2 - 2x + 1)' = 3x^2 + 6x - 2$.
Подставляем в формулу производной сложной функции:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 3x^2 - 2x + 1}} \cdot (3x^2 + 6x - 2)$.
Запишем результат в виде одной дроби:
$y' = \frac{3x^2 + 6x - 2}{2\sqrt{x^3 + 3x^2 - 2x + 1}}$.
Ответ: $y' = \frac{3x^2 + 6x - 2}{2\sqrt{x^3 + 3x^2 - 2x + 1}}$.

в) Функцию $y = \frac{1}{(x^2 - 7x + 8)^2}$ можно переписать в виде $y = (x^2 - 7x + 8)^{-2}$.
Это сложная функция, для дифференцирования которой применим цепное правило.
Внешняя функция $f(u) = u^{-2}$, внутренняя функция $g(x) = x^2 - 7x + 8$.
Находим производные:
$f'(u) = (u^{-2})' = -2u^{-3} = -\frac{2}{u^3}$.
$g'(x) = (x^2 - 7x + 8)' = 2x - 7$.
Собираем производную исходной функции:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\frac{2}{(x^2 - 7x + 8)^3} \cdot (2x - 7)$.
Упрощаем и получаем окончательный вид:
$y' = -\frac{2(2x - 7)}{(x^2 - 7x + 8)^3}$.
Ответ: $y' = -\frac{2(2x - 7)}{(x^2 - 7x + 8)^3}$.

г) Данная функция $y = \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2 + 5}}$ является сложной. Внешняя функция — это квадратный корень, а внутренняя — дробно-рациональная функция.
Пусть $u(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 5}$, тогда $y = \sqrt{u}$.
По цепному правилу, $y' = (\sqrt{u})' \cdot u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'(x)$.
Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$:
$u'(x) = \left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 5}\right)' = \frac{(x^2 - 1)'(x^2 + 5) - (x^2 - 1)(x^2 + 5)'}{(x^2 + 5)^2}$.
$u'(x) = \frac{2x(x^2 + 5) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 5)^2} = \frac{2x^3 + 10x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 5)^2} = \frac{12x}{(x^2 + 5)^2}$.
Теперь подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для $y'$:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2 + 5}}} \cdot \frac{12x}{(x^2 + 5)^2}$.
Упростим выражение. Перевернем дробь под корнем в знаменателе:
$y' = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^2 + 5}{x^2 - 1}} \cdot \frac{12x}{(x^2 + 5)^2} = \frac{\sqrt{x^2 + 5}}{\sqrt{x^2 - 1}} \cdot \frac{6x}{(x^2 + 5)^2}$.
Сократим $\sqrt{x^2 + 5}$ и $(x^2 + 5)^2$:
$y' = \frac{6x}{\sqrt{x^2 - 1} \cdot (x^2 + 5)^{3/2}} = \frac{6x}{(x^2 + 5)\sqrt{x^2 - 1}\sqrt{x^2 + 5}}$.
Объединим корни в знаменателе:
$y' = \frac{6x}{(x^2 + 5)\sqrt{(x^2 - 1)(x^2 + 5)}} = \frac{6x}{(x^2 + 5)\sqrt{x^4 + 4x^2 - 5}}$.
Ответ: $y' = \frac{6x}{(x^2 + 5)\sqrt{x^4 + 4x^2 - 5}}$.

42.7. а) $y = \sin^3 x;$

б) $y = \sqrt{\operatorname{ctg} x};$

В) $y = \operatorname{tg}^5 x;$

Г) $y = \operatorname{tg}(x + x^3).$

а) Для нахождения производной функции $y = \sin^3 x$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом).
Функцию можно представить как композицию двух функций: внешней $f(u) = u^3$ и внутренней $u(x) = \sin x$.
Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу $u$ на производную внутренней функции по $x$.
$y' = (u^3)'_u \cdot (\sin x)'_x$
Находим производные:
1. Производная внешней функции: $(u^3)' = 3u^2$. Подставляя обратно $u = \sin x$, получаем $3\sin^2 x$.
2. Производная внутренней функции: $(\sin x)' = \cos x$.
Перемножаем результаты:
$y' = 3\sin^2 x \cdot \cos x$
Ответ: $y' = 3\sin^2 x \cos x$.

б) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{\ctg x}$ также используем правило дифференцирования сложной функции.
Представим функцию в виде $y = (\ctg x)^{1/2}$.
Здесь внешняя функция $f(u) = u^{1/2}$, а внутренняя $u(x) = \ctg x$.
$y' = (u^{1/2})'_u \cdot (\ctg x)'_x$
Находим производные:
1. Производная внешней функции: $(u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$. Подставляя $u = \ctg x$, получаем $\frac{1}{2\sqrt{\ctg x}}$.
2. Производная внутренней функции: $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Перемножаем результаты:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{\ctg x}} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{1}{2\sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{2\sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.

в) Для нахождения производной функции $y = \tg^5 x$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = u^5$, внутренняя функция $u(x) = \tg x$.
$y' = (u^5)'_u \cdot (\tg x)'_x$
Находим производные:
1. Производная внешней функции: $(u^5)' = 5u^4$. Подставляя $u = \tg x$, получаем $5\tg^4 x$.
2. Производная внутренней функции: $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Перемножаем результаты:
$y' = 5\tg^4 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{5\tg^4 x}{\cos^2 x}$.
Ответ: $y' = \frac{5\tg^4 x}{\cos^2 x}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \tg(x + x^3)$ используем правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = \tg u$, внутренняя функция $u(x) = x + x^3$.
$y' = (\tg u)'_u \cdot (x + x^3)'_x$
Находим производные:
1. Производная внешней функции: $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$. Подставляя $u = x + x^3$, получаем $\frac{1}{\cos^2(x + x^3)}$.
2. Производная внутренней функции (производная суммы): $(x + x^3)' = (x)' + (x^3)' = 1 + 3x^2$.
Перемножаем результаты:
$y' = \frac{1}{\cos^2(x + x^3)} \cdot (1 + 3x^2) = \frac{1 + 3x^2}{\cos^2(x + x^3)}$.
Ответ: $y' = \frac{1 + 3x^2}{\cos^2(x + x^3)}$.

42.8. a) $y = \sqrt{1 - x^2} + \cos^3 x;$

б) $y = \frac{\sqrt{\operatorname{tg} x}}{x^2 + 1};$

B) $y = \sin^2 x \cdot \cos \sqrt{x};$

Г) $y = \frac{\sqrt{\operatorname{ctg} x}}{x^3}.$

а) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{1 - x^2} + \cos^3 x$ используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и цепное правило для дифференцирования сложных функций.

$y' = (\sqrt{1 - x^2})' + (\cos^3 x)'$
Производная первого слагаемого:
$(\sqrt{1 - x^2})' = ((1-x^2)^{1/2})' = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2} \cdot (1-x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
Производная второго слагаемого:
$(\cos^3 x)' = ((\cos x)^3)' = 3(\cos x)^2 \cdot (\cos x)' = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x$.
Складывая производные, получаем окончательный результат:
$y' = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - 3\cos^2 x \sin x$.

Ответ: $y' = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - 3\cos^2 x \sin x$.

б) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sqrt{\tg x}}{x^2 + 1}$ используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \sqrt{\tg x}$ и $v = x^2 + 1$.

Сначала найдем производные $u'$ и $v'$ по отдельности.
$u' = (\sqrt{\tg x})' = \frac{1}{2\sqrt{\tg x}} \cdot (\tg x)' = \frac{1}{2\sqrt{\tg x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2\cos^2 x \sqrt{\tg x}}$.
$v' = (x^2 + 1)' = 2x$.
Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:
$y' = \frac{(\frac{1}{2\cos^2 x \sqrt{\tg x}})(x^2+1) - (\sqrt{\tg x})(2x)}{(x^2+1)^2}$.
Упростим полученное выражение, домножив числитель и знаменатель на $2\cos^2 x \sqrt{\tg x}$:
$y' = \frac{x^2+1 - 2x\sqrt{\tg x} \cdot (2\cos^2 x \sqrt{\tg x})}{2\cos^2 x \sqrt{\tg x} (x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 4x \tg x \cos^2 x}{2\cos^2 x \sqrt{\tg x} (x^2+1)^2}$.
Так как $\tg x \cos^2 x = \frac{\sin x}{\cos x} \cos^2 x = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, получаем:
$y' = \frac{x^2+1 - 4x(\frac{1}{2}\sin(2x))}{2(x^2+1)^2 \cos^2 x \sqrt{\tg x}} = \frac{x^2+1 - 2x\sin(2x)}{2(x^2+1)^2 \cos^2 x \sqrt{\tg x}}$.

Ответ: $y' = \frac{x^2+1 - 2x\sin(2x)}{2(x^2+1)^2 \cos^2 x \sqrt{\tg x}}$.

в) Для нахождения производной функции $y = \sin^2 x \cdot \cos\sqrt{x}$ используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = \sin^2 x$ и $v = \cos\sqrt{x}$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:
$u' = (\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$.
$v' = (\cos\sqrt{x})' = -\sin\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})' = -\sin\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.
Подставим в формулу для производной произведения:
$y' = u'v + uv' = \sin(2x) \cdot \cos\sqrt{x} + \sin^2 x \cdot (-\frac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}) = \sin(2x)\cos\sqrt{x} - \frac{\sin^2 x \sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \sin(2x)\cos\sqrt{x} - \frac{\sin^2 x \sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sqrt{\ctg x}}{x^3}$ используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \sqrt{\ctg x}$ и $v = x^3$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:
$u' = (\sqrt{\ctg x})' = \frac{1}{2\sqrt{\ctg x}} \cdot (\ctg x)' = \frac{1}{2\sqrt{\ctg x}} \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{1}{2\sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.
$v' = (x^3)' = 3x^2$.
Подставим в формулу для производной частного:
$y' = \frac{(-\frac{1}{2\sin^2 x \sqrt{\ctg x}})(x^3) - (\sqrt{\ctg x})(3x^2)}{(x^3)^2} = \frac{-\frac{x^3}{2\sin^2 x \sqrt{\ctg x}} - 3x^2\sqrt{\ctg x}}{x^6}$.
Упростим выражение:
$y' = \frac{-x^3 - 3x^2\sqrt{\ctg x} \cdot (2\sin^2 x \sqrt{\ctg x})}{2x^6 \sin^2 x \sqrt{\ctg x}} = \frac{-x^3 - 6x^2 \ctg x \sin^2 x}{2x^6 \sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.
Так как $\ctg x \sin^2 x = \frac{\cos x}{\sin x} \sin^2 x = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, получаем:
$y' = \frac{-x^3 - 6x^2 (\frac{1}{2}\sin(2x))}{2x^6 \sin^2 x \sqrt{\ctg x}} = \frac{-x^3 - 3x^2\sin(2x)}{2x^6 \sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.
Вынесем за скобки в числителе $-x^2$ и сократим дробь:
$y' = \frac{-x^2(x + 3\sin(2x))}{2x^6 \sin^2 x \sqrt{\ctg x}} = -\frac{x + 3\sin(2x)}{2x^4 \sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.

Ответ: $y' = -\frac{x + 3\sin(2x)}{2x^4 \sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.

Найдите значение производной функции в точке $x_0$:

42.9. a) $y = (3x - 2)^7$, $x_0 = 3$;

б) $y = \sqrt{25 - 9x}$, $x_0 = 1$;

в) $y = (4 - 5x)^7$, $x_0 = 1$;

г) $y = \sqrt{7x + 4}$, $x_0 = 3$.

а) Дана функция $y = (3x - 2)^7$ и точка $x_0 = 3$.
Для нахождения значения производной в точке $x_0$ необходимо сначала найти производную функции $y'(x)$. Данная функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
В нашем случае внешняя функция $f(u) = u^7$, а внутренняя функция $g(x) = 3x - 2$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (u^7)' = 7u^6$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (3x - 2)' = 3$.
Следовательно, производная исходной функции равна:
$y' = 7(3x - 2)^6 \cdot 3 = 21(3x - 2)^6$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:
$y'(3) = 21(3 \cdot 3 - 2)^6 = 21(9 - 2)^6 = 21 \cdot 7^6$.
Посчитаем $7^6$: $7^2=49$, $7^3=343$, $7^6 = (7^3)^2 = 343^2 = 117649$.
$y'(3) = 21 \cdot 117649 = 2470629$.
Ответ: $2470629$.

б) Дана функция $y = \sqrt{25 - 9x}$ и точка $x_0 = 1$.
Представим функцию в виде степени: $y = (25 - 9x)^{1/2}$.
Это сложная функция. Внешняя функция $f(u) = u^{1/2}$, внутренняя $g(x) = 25 - 9x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (25 - 9x)' = -9$.
По цепному правилу, производная исходной функции:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{25 - 9x}} \cdot (-9) = -\frac{9}{2\sqrt{25 - 9x}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$y'(1) = -\frac{9}{2\sqrt{25 - 9 \cdot 1}} = -\frac{9}{2\sqrt{25 - 9}} = -\frac{9}{2\sqrt{16}} = -\frac{9}{2 \cdot 4} = -\frac{9}{8}$.
Ответ: $-\frac{9}{8}$.

в) Дана функция $y = (4 - 5x)^7$ и точка $x_0 = 1$.
Для нахождения производной воспользуемся цепным правилом.
Внешняя функция $f(u) = u^7$, внутренняя функция $g(x) = 4 - 5x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = 7u^6$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (4 - 5x)' = -5$.
Производная исходной функции:
$y' = 7(4 - 5x)^6 \cdot (-5) = -35(4 - 5x)^6$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$y'(1) = -35(4 - 5 \cdot 1)^6 = -35(4 - 5)^6 = -35(-1)^6 = -35 \cdot 1 = -35$.
Ответ: $-35$.

г) Дана функция $y = \sqrt{7x + 4}$ и точка $x_0 = 3$.
Представим функцию в виде степени: $y = (7x + 4)^{1/2}$.
Это сложная функция. Внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$, внутренняя $g(x) = 7x + 4$.
Производная внешней функции: $f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (7x + 4)' = 7$.
По цепному правилу, производная исходной функции:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{7x + 4}} \cdot 7 = \frac{7}{2\sqrt{7x + 4}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:
$y'(3) = \frac{7}{2\sqrt{7 \cdot 3 + 4}} = \frac{7}{2\sqrt{21 + 4}} = \frac{7}{2\sqrt{25}} = \frac{7}{2 \cdot 5} = \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{7}{10}$.

42.10. а) $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right), x_0 = \frac{\pi}{6};$

б) $y = \ctg\left(\frac{\pi}{3} - x\right), x_0 = \frac{\pi}{6};$

в) $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right), x_0 = \frac{\pi}{8};$

г) $y = \tg\left(3x - \frac{\pi}{4}\right), x_0 = \frac{\pi}{12}.$

а) $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3}), x_0 = \frac{\pi}{6}$

Для нахождения значения производной в точке, сначала найдем саму производную функции. Данная функция является сложной, поэтому для ее дифференцирования воспользуемся правилом производной сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь внешняя функция $f(u) = \sin(u)$, а внутренняя $g(x) = 2x - \frac{\pi}{3}$.

Производная внешней функции: $(\sin(u))' = \cos(u)$.

Производная внутренней функции: $(2x - \frac{\pi}{3})' = 2$.

Следовательно, производная исходной функции равна:

$y' = (\sin(2x - \frac{\pi}{3}))' = \cos(2x - \frac{\pi}{3}) \cdot (2x - \frac{\pi}{3})' = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3})$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$y'(\frac{\pi}{6}) = 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) = 2\cos(0)$.

Так как $\cos(0) = 1$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2

б) $y = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3} - x), x_0 = \frac{\pi}{6}$

Найдем производную функции, используя цепное правило. Внешняя функция $f(u) = \operatorname{ctg}(u)$, внутренняя $g(x) = \frac{\pi}{3} - x$.

Производная внешней функции: $(\operatorname{ctg}(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $(\frac{\pi}{3} - x)' = -1$.

Таким образом, производная исходной функции:

$y' = (\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3} - x))' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{3} - x)} \cdot (\frac{\pi}{3} - x)' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{3} - x)} \cdot (-1) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{3} - x)}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$y'(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6})} = \frac{1}{\sin^2(\frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6})} = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{6})}$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$.

Ответ: 4

в) $y = \cos(\frac{\pi}{3} - 4x), x_0 = \frac{\pi}{8}$

Найдем производную функции по цепному правилу. Внешняя функция $f(u) = \cos(u)$, внутренняя $g(x) = \frac{\pi}{3} - 4x$.

Производная внешней функции: $(\cos(u))' = -\sin(u)$.

Производная внутренней функции: $(\frac{\pi}{3} - 4x)' = -4$.

Производная исходной функции:

$y' = (\cos(\frac{\pi}{3} - 4x))' = -\sin(\frac{\pi}{3} - 4x) \cdot (\frac{\pi}{3} - 4x)' = -\sin(\frac{\pi}{3} - 4x) \cdot (-4) = 4\sin(\frac{\pi}{3} - 4x)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{8}$:

$y'(\frac{\pi}{8}) = 4\sin(\frac{\pi}{3} - 4 \cdot \frac{\pi}{8}) = 4\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2})$.

Приведем аргумент синуса к общему знаменателю: $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

$y'(\frac{\pi}{8}) = 4\sin(-\frac{\pi}{6})$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-a) = -\sin(a)$ и зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{8}) = 4 \cdot (-\sin(\frac{\pi}{6})) = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$.

Ответ: -2

г) $y = \operatorname{tg}(3x - \frac{\pi}{4}), x_0 = \frac{\pi}{12}$

Найдем производную функции по цепному правилу. Внешняя функция $f(u) = \operatorname{tg}(u)$, внутренняя $g(x) = 3x - \frac{\pi}{4}$.

Производная внешней функции: $(\operatorname{tg}(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $(3x - \frac{\pi}{4})' = 3$.

Производная исходной функции:

$y' = (\operatorname{tg}(3x - \frac{\pi}{4}))' = \frac{1}{\cos^2(3x - \frac{\pi}{4})} \cdot (3x - \frac{\pi}{4})' = \frac{3}{\cos^2(3x - \frac{\pi}{4})}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$:

$y'(\frac{\pi}{12}) = \frac{3}{\cos^2(3 \cdot \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{4})} = \frac{3}{\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4})} = \frac{3}{\cos^2(0)}$.

Так как $\cos(0) = 1$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{12}) = \frac{3}{1^2} = 3$.

Ответ: 3

42.11. a) $y = (x^2 - 3x + 1)^7, x_0 = 1;$

б) $y = \sqrt{\frac{x + 1}{x + 4}}, x_0 = 0;$

в) $y = \sqrt{(x - 1)(x - 4)}, x_0 = 0;$

г) $y = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 3}\right)^3, x_0 = 1.$

а) $y = (x^2 - 3x + 1)^7$, $x_0 = 1$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $f(u) = u^7$, а внутренняя функция $g(x) = x^2 - 3x + 1$.

Находим производные этих функций:

$f'(u) = 7u^6 = 7(x^2 - 3x + 1)^6$

$g'(x) = (x^2 - 3x + 1)' = 2x - 3$

Теперь перемножаем их, чтобы найти производную исходной функции:

$y' = 7(x^2 - 3x + 1)^6 \cdot (2x - 3)$

Подставляем значение $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$y'(1) = 7(1^2 - 3 \cdot 1 + 1)^6 \cdot (2 \cdot 1 - 3)$

$y'(1) = 7(1 - 3 + 1)^6 \cdot (2 - 3)$

$y'(1) = 7(-1)^6 \cdot (-1)$

$y'(1) = 7 \cdot 1 \cdot (-1) = -7$

Ответ: $-7$

б) $y = \sqrt{\frac{x + 1}{x + 4}}$, $x_0 = 0$

Представим функцию в виде $y = \left(\frac{x + 1}{x + 4}\right)^{1/2}$. Это сложная функция, для дифференцирования которой применим цепное правило и правило дифференцирования частного.

Пусть $u(x) = \frac{x + 1}{x + 4}$, тогда $y(u) = u^{1/2}$.

Производная внешней функции: $y'(u) = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x + 1}{x + 4}}}$.

Производная внутренней функции (по правилу частного $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$):

$u'(x) = \left(\frac{x + 1}{x + 4}\right)' = \frac{(x+1)'(x+4) - (x+1)(x+4)'}{(x+4)^2} = \frac{1 \cdot (x+4) - (x+1) \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{x+4-x-1}{(x+4)^2} = \frac{3}{(x+4)^2}$.

Общая производная $y' = y'(u) \cdot u'(x)$:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x + 1}{x + 4}}} \cdot \frac{3}{(x + 4)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$y'(0) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{0 + 1}{0 + 4}}} \cdot \frac{3}{(0 + 4)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{3}{16} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{16} = 1 \cdot \frac{3}{16} = \frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{3}{16}$

в) $y = \sqrt{(x - 1)(x - 4)}$, $x_0 = 0$

Сначала раскроем скобки под корнем: $(x - 1)(x - 4) = x^2 - 4x - x + 4 = x^2 - 5x + 4$.

Таким образом, функция имеет вид $y = \sqrt{x^2 - 5x + 4}$ или $y = (x^2 - 5x + 4)^{1/2}$.

Это сложная функция. Применим цепное правило. Внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$, внутренняя $g(x) = x^2 - 5x + 4$.

Находим производные:

$f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 5x + 4}}$

$g'(x) = (x^2 - 5x + 4)' = 2x - 5$

Производная исходной функции:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 5x + 4}} \cdot (2x - 5) = \frac{2x - 5}{2\sqrt{x^2 - 5x + 4}}$

Подставим значение $x_0 = 0$:

$y'(0) = \frac{2 \cdot 0 - 5}{2\sqrt{0^2 - 5 \cdot 0 + 4}} = \frac{-5}{2\sqrt{4}} = \frac{-5}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{4}$.

Ответ: $-\frac{5}{4}$

г) $y = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 3}\right)^3$, $x_0 = 1$

Для нахождения производной используем цепное правило и правило дифференцирования частного.

Пусть $u(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 + 3}$, тогда $y(u) = u^3$.

Производная внешней функции: $y'(u) = 3u^2 = 3\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 3}\right)^2$.

Производная внутренней функции (по правилу частного):

$u'(x) = \left(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 3}\right)' = \frac{(x^2+1)'(x^2+3) - (x^2+1)(x^2+3)'}{(x^2+3)^2}$

$u'(x) = \frac{2x(x^2+3) - (x^2+1)(2x)}{(x^2+3)^2} = \frac{2x^3+6x - 2x^3-2x}{(x^2+3)^2} = \frac{4x}{(x^2+3)^2}$.

Общая производная $y' = y'(u) \cdot u'(x)$:

$y' = 3\left(\frac{x^2 + 1}{x^2 + 3}\right)^2 \cdot \frac{4x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{12x(x^2+1)^2}{(x^2+3)^4}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$y'(1) = \frac{12 \cdot 1 \cdot (1^2+1)^2}{(1^2+3)^4} = \frac{12 \cdot 2^2}{4^4} = \frac{12 \cdot 4}{256} = \frac{48}{256}$.

Сократим дробь: $\frac{48}{256} = \frac{3 \cdot 16}{16 \cdot 16} = \frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{3}{16}$