Номер 42.8, страница 247, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.8. a) $y = \sqrt{1 - x^2} + \cos^3 x;$

б) $y = \frac{\sqrt{\operatorname{tg} x}}{x^2 + 1};$

B) $y = \sin^2 x \cdot \cos \sqrt{x};$

Г) $y = \frac{\sqrt{\operatorname{ctg} x}}{x^3}.$

а) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{1 - x^2} + \cos^3 x$ используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и цепное правило для дифференцирования сложных функций.

$y' = (\sqrt{1 - x^2})' + (\cos^3 x)'$
Производная первого слагаемого:
$(\sqrt{1 - x^2})' = ((1-x^2)^{1/2})' = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2} \cdot (1-x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.
Производная второго слагаемого:
$(\cos^3 x)' = ((\cos x)^3)' = 3(\cos x)^2 \cdot (\cos x)' = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3\cos^2 x \sin x$.
Складывая производные, получаем окончательный результат:
$y' = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - 3\cos^2 x \sin x$.

Ответ: $y' = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - 3\cos^2 x \sin x$.

б) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sqrt{\tg x}}{x^2 + 1}$ используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \sqrt{\tg x}$ и $v = x^2 + 1$.

Сначала найдем производные $u'$ и $v'$ по отдельности.
$u' = (\sqrt{\tg x})' = \frac{1}{2\sqrt{\tg x}} \cdot (\tg x)' = \frac{1}{2\sqrt{\tg x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2\cos^2 x \sqrt{\tg x}}$.
$v' = (x^2 + 1)' = 2x$.
Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:
$y' = \frac{(\frac{1}{2\cos^2 x \sqrt{\tg x}})(x^2+1) - (\sqrt{\tg x})(2x)}{(x^2+1)^2}$.
Упростим полученное выражение, домножив числитель и знаменатель на $2\cos^2 x \sqrt{\tg x}$:
$y' = \frac{x^2+1 - 2x\sqrt{\tg x} \cdot (2\cos^2 x \sqrt{\tg x})}{2\cos^2 x \sqrt{\tg x} (x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 4x \tg x \cos^2 x}{2\cos^2 x \sqrt{\tg x} (x^2+1)^2}$.
Так как $\tg x \cos^2 x = \frac{\sin x}{\cos x} \cos^2 x = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, получаем:
$y' = \frac{x^2+1 - 4x(\frac{1}{2}\sin(2x))}{2(x^2+1)^2 \cos^2 x \sqrt{\tg x}} = \frac{x^2+1 - 2x\sin(2x)}{2(x^2+1)^2 \cos^2 x \sqrt{\tg x}}$.

Ответ: $y' = \frac{x^2+1 - 2x\sin(2x)}{2(x^2+1)^2 \cos^2 x \sqrt{\tg x}}$.

в) Для нахождения производной функции $y = \sin^2 x \cdot \cos\sqrt{x}$ используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = \sin^2 x$ и $v = \cos\sqrt{x}$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:
$u' = (\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x = \sin(2x)$.
$v' = (\cos\sqrt{x})' = -\sin\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x})' = -\sin\sqrt{x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.
Подставим в формулу для производной произведения:
$y' = u'v + uv' = \sin(2x) \cdot \cos\sqrt{x} + \sin^2 x \cdot (-\frac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}) = \sin(2x)\cos\sqrt{x} - \frac{\sin^2 x \sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = \sin(2x)\cos\sqrt{x} - \frac{\sin^2 x \sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{\sqrt{\ctg x}}{x^3}$ используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \sqrt{\ctg x}$ и $v = x^3$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:
$u' = (\sqrt{\ctg x})' = \frac{1}{2\sqrt{\ctg x}} \cdot (\ctg x)' = \frac{1}{2\sqrt{\ctg x}} \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{1}{2\sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.
$v' = (x^3)' = 3x^2$.
Подставим в формулу для производной частного:
$y' = \frac{(-\frac{1}{2\sin^2 x \sqrt{\ctg x}})(x^3) - (\sqrt{\ctg x})(3x^2)}{(x^3)^2} = \frac{-\frac{x^3}{2\sin^2 x \sqrt{\ctg x}} - 3x^2\sqrt{\ctg x}}{x^6}$.
Упростим выражение:
$y' = \frac{-x^3 - 3x^2\sqrt{\ctg x} \cdot (2\sin^2 x \sqrt{\ctg x})}{2x^6 \sin^2 x \sqrt{\ctg x}} = \frac{-x^3 - 6x^2 \ctg x \sin^2 x}{2x^6 \sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.
Так как $\ctg x \sin^2 x = \frac{\cos x}{\sin x} \sin^2 x = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, получаем:
$y' = \frac{-x^3 - 6x^2 (\frac{1}{2}\sin(2x))}{2x^6 \sin^2 x \sqrt{\ctg x}} = \frac{-x^3 - 3x^2\sin(2x)}{2x^6 \sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.
Вынесем за скобки в числителе $-x^2$ и сократим дробь:
$y' = \frac{-x^2(x + 3\sin(2x))}{2x^6 \sin^2 x \sqrt{\ctg x}} = -\frac{x + 3\sin(2x)}{2x^4 \sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.

Ответ: $y' = -\frac{x + 3\sin(2x)}{2x^4 \sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.