Номер 42.12, страница 248, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.12. a) $y = \operatorname{tg}^3 x, x_0 = \frac{\pi}{4}$;

Б) $y = \sin \sqrt{x}, x_0 = \frac{\pi^2}{36}$;

В) $y = \cos x^3, x_0 = 0$;

Г) $y = \operatorname{ctg}^2 x - 1, x_0 = \frac{\pi}{4}$.

а) Для нахождения производной функции $y = \text{tg}^3 x$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Представим функцию в виде $y = u^3$, где $u = \text{tg} x$. Производная $y$ по $x$ равна $y' = (u^3)'_u \cdot (u)'_x$. Находим производные: $(u^3)'_u = 3u^2 = 3\text{tg}^2 x$ и $(\text{tg} x)'_x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Следовательно, производная исходной функции: $y' = 3\text{tg}^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{3\text{tg}^2 x}{\cos^2 x}$. Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Подставляем значения $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{3\text{tg}^2(\frac{\pi}{4})}{\cos^2(\frac{\pi}{4})} = \frac{3 \cdot 1^2}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$.
Ответ: $6$

б) Для нахождения производной сложной функции $y = \sin\sqrt{x}$ применим цепное правило. Пусть $u = \sqrt{x}$, тогда $y = \sin u$. Производная $y' = (\sin u)'_u \cdot (\sqrt{x})'_x$. Находим производные: $(\sin u)'_u = \cos u = \cos(\sqrt{x})$ и $(\sqrt{x})'_x = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Таким образом, производная исходной функции: $y' = \cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi^2}{36}$. Сначала находим $\sqrt{x_0} = \sqrt{\frac{\pi^2}{36}} = \frac{\pi}{6}$. Подставляем это значение в производную: $y'(\frac{\pi^2}{36}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{6})}{2 \cdot \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{\pi} = \frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$.
Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}$

в) Для нахождения производной сложной функции $y = \cos x^3$ используем цепное правило. Пусть $u = x^3$, тогда $y = \cos u$. Производная $y' = (\cos u)'_u \cdot (x^3)'_x$. Находим производные: $(\cos u)'_u = -\sin u = -\sin(x^3)$ и $(x^3)'_x = 3x^2$. Производная исходной функции: $y' = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2\sin(x^3)$. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $y'(0) = -3 \cdot 0^2 \cdot \sin(0^3) = -3 \cdot 0 \cdot \sin(0) = 0$.
Ответ: $0$

г) Для функции $y = \text{ctg}^2 x - 1$ найдем производную, используя правило дифференцирования разности: $y' = (\text{ctg}^2 x)' - (1)'$. Производная константы $(1)'=0$. Для нахождения $(\text{ctg}^2 x)'$ применим цепное правило. Пусть $u = \text{ctg} x$, тогда имеем $u^2$. Производная $(u^2)'_x = (u^2)'_u \cdot (u)'_x = 2u \cdot (\text{ctg} x)'_x$. Зная, что $(\text{ctg} x)'_x = -\frac{1}{\sin^2 x}$, получаем: $(\text{ctg}^2 x)' = 2\text{ctg} x \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{2\text{ctg} x}{\sin^2 x}$. Таким образом, итоговая производная $y' = -\frac{2\text{ctg} x}{\sin^2 x}$. Вычислим ее значение в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Подставляем значения $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $y'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{2\text{ctg}(\frac{\pi}{4})}{\sin^2(\frac{\pi}{4})} = -\frac{2 \cdot 1}{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -4$.
Ответ: $-4$