Номер 42.18, страница 249, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.18. При каких значениях аргумента скорость изменения функции $y = g(x)$ больше скорости изменения функции $y = h(x):$

a) $g(x) = \sin \left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$, $h(x) = 6x - 12;$

б) $g(x) = \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$, $h(x) = 3 - \sqrt{2x}?$

а) Скорость изменения функции в точке равна значению ее производной в этой точке. Для того чтобы найти значения аргумента, при которых скорость изменения функции $y = g(x)$ больше скорости изменения функции $y = h(x)$, необходимо решить неравенство $g'(x) > h'(x)$.
Найдем производные заданных функций:
Для функции $g(x) = \sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$, используя правило производной сложной функции, получаем:
$g'(x) = \left(\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)\right)' = \cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) \cdot (3x - \frac{\pi}{6})' = 3\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$.
Для функции $h(x) = 6x - 12$ производная равна:
$h'(x) = (6x - 12)' = 6$.
Теперь составим и решим неравенство:
$g'(x) > h'(x)$
$3\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) > 6$
Разделим обе части на 3:
$\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right) > 2$
Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что значение $\cos\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$ не может быть больше 1, и, следовательно, не может быть больше 2. Таким образом, неравенство не имеет решений.
Ответ: таких значений аргумента не существует.

б) Аналогично пункту а), найдем производные функций и решим неравенство $g'(x) > h'(x)$.
Даны функции $g(x) = \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$ и $h(x) = 3 - \sqrt{2}x$.
Найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = \left(\cos\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)\right)' = -\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \cdot \left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)' = -\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) \cdot (-2) = 2\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right)$.
Найдем производную функции $h(x)$:
$h'(x) = (3 - \sqrt{2}x)' = -\sqrt{2}$.
Составим и решим неравенство:
$2\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) > -\sqrt{2}$
$\sin\left(\frac{\pi}{4} - 2x\right) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Для решения этого тригонометрического неравенства введем замену $t = \frac{\pi}{4} - 2x$. Получим неравенство $\sin(t) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решением этого неравенства на единичной окружности являются углы $t$, для которых ордината (значение синуса) больше, чем $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это соответствует интервалу:
$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in Z$.
Теперь выполним обратную замену:
$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < \frac{\pi}{4} - 2x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$
Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей двойного неравенства:
$-\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k < -2x < \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$-\frac{2\pi}{4} + 2\pi k < -2x < \frac{4\pi}{4} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < -2x < \pi + 2\pi k$
Разделим все части неравенства на -2, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$\frac{\pi + 2\pi k}{-2} < x < \frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{-2}$
$-\frac{\pi}{2} - \pi k < x < \frac{\pi}{4} - \pi k$
Так как $k$ — любое целое число, то и $-k$ — любое целое число. Для более удобной записи заменим $-k$ на $n$, где $n \in Z$:
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{4} + \pi n$
Ответ: $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{\pi}{4} + \pi n\right)$, где $n \in Z$.