Номер 42.20, страница 249, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.20. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ равен $a$, если:

a) $f(x) = \sin x \cdot \cos x, k = -\frac{\sqrt{2}}{2};$

б) $f(x) = \cos^2 x, k = \frac{1}{2}.$

а) Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Дана функция $f(x) = \sin x \cdot \cos x$ и угловой коэффициент $k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Сначала упростим функцию, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$: $f(x) = \frac{1}{2} \cdot 2\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$. Теперь найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)' = \frac{1}{2}(\cos(2x)) \cdot (2x)' = \frac{1}{2}\cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$. Приравняем производную к заданному угловому коэффициенту $k$: $f'(x) = k$ $\cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решим это тригонометрическое уравнение. $2x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $2x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$: $x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = \cos^2 x$ и угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило производной сложной функции $(u^2)' = 2u \cdot u'$: $f'(x) = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x$. Используя формулу синуса двойного угла, получаем: $f'(x) = -\sin(2x)$. Приравняем производную к заданному угловому коэффициенту $k$: $f'(x) = k$ $-\sin(2x) = \frac{1}{2}$ $\sin(2x) = -\frac{1}{2}$. Решим это тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin t = a$ имеет вид $t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $2x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $2x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $2x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти $x$: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.