Номер 42.17, страница 248, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.17. При каких значениях аргумента скорость изменения функции $y = f(x)$ равна скорости изменения функции $y = g(x):$

a) $f(x) = \cos 2x$, $g(x) = \sin x$;

б) $f(x) = \sin 6x$, $g(x) = \cos 12x + 4$;

в) $f(x) = \frac{2}{3} \sin 3x$, $g(x) = \cos 2x$;

г) $f(x) = \sqrt{x^2 - 2x}$, $g(x) = 2\sqrt{x}$?

Скорость изменения функции в точке — это значение ее производной в этой точке. Для того чтобы найти значения аргумента $x$, при которых скорости изменения функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ равны, необходимо найти производные этих функций и решить уравнение $f'(x) = g'(x)$.

а) Даны функции $f(x) = \cos 2x$ и $g(x) = \sin x$.
Находим их производные:
$f'(x) = (\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$.
$g'(x) = (\sin x)' = \cos x$.
Приравниваем производные и решаем полученное уравнение:
$f'(x) = g'(x)$
$-2\sin 2x = \cos x$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:
$-2(2\sin x \cos x) = \cos x$
$-4\sin x \cos x - \cos x = 0$
$-\cos x (4\sin x + 1) = 0$.
Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $4\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{4}$. Решения этого уравнения имеют вид $x = (-1)^{n} \arcsin(-\frac{1}{4}) + \pi n$, что можно записать как $x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Даны функции $f(x) = \sin 6x$ и $g(x) = \cos 12x + 4$.
Находим их производные:
$f'(x) = (\sin 6x)' = \cos(6x) \cdot (6x)' = 6\cos 6x$.
$g'(x) = (\cos 12x + 4)' = -\sin(12x) \cdot (12x)' + 0 = -12\sin 12x$.
Приравниваем производные:
$6\cos 6x = -12\sin 12x$.
Используем формулу синуса двойного угла $\sin 12x = \sin(2 \cdot 6x) = 2\sin 6x \cos 6x$:
$6\cos 6x = -12(2\sin 6x \cos 6x)$
$6\cos 6x + 24\sin 6x \cos 6x = 0$
$6\cos 6x(1 + 4\sin 6x) = 0$.
Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $\cos 6x = 0 \implies 6x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{6}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $1 + 4\sin 6x = 0 \implies \sin 6x = -\frac{1}{4}$. Решения этого уравнения: $6x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n \implies x = \frac{(-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n}{6}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{6}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{(-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{4}) + \pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.

в) Даны функции $f(x) = \frac{2}{3}\sin 3x$ и $g(x) = \cos 2x$.
Находим их производные:
$f'(x) = \left(\frac{2}{3}\sin 3x\right)' = \frac{2}{3} \cos(3x) \cdot (3x)' = \frac{2}{3} \cdot 3 \cos 3x = 2\cos 3x$.
$g'(x) = (\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$.
Приравниваем производные:
$2\cos 3x = -2\sin 2x$
$\cos 3x = -\sin 2x$.
Используя формулу приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha$, получаем:
$\cos 3x = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right)$.
Уравнение вида $\cos a = \cos b$ равносильно совокупности $a = \pm b + 2\pi k$.
1) $3x = \frac{\pi}{2} + 2x + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $3x = -\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) + 2\pi n \implies 3x = -\frac{\pi}{2} - 2x + 2\pi n \implies 5x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

г) Даны функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 2x}$ и $g(x) = 2\sqrt{x}$.
Сначала найдем области определения производных.
Производная $f'(x)$ определена, когда подкоренное выражение строго больше нуля: $x^2 - 2x > 0 \implies x(x-2) > 0$, что выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$.
Производная $g'(x)$ определена при $x > 0$.
Следовательно, общее множество, на котором мы ищем решение уравнения $f'(x) = g'(x)$, есть пересечение этих областей: $x \in (2, +\infty)$.
Находим производные:
$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 2x})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (x^2 - 2x)' = \frac{2x-2}{2\sqrt{x^2 - 2x}} = \frac{x-1}{\sqrt{x^2 - 2x}}$.
$g'(x) = (2\sqrt{x})' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Приравниваем производные:
$\frac{x-1}{\sqrt{x^2 - 2x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.
На области определения $x > 2$ обе части уравнения положительны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:
$\frac{(x-1)^2}{x^2 - 2x} = \frac{1}{x}$
$\frac{(x-1)^2}{x(x - 2)} = \frac{1}{x}$.
Так как $x > 2$, то $x \ne 0$, и мы можем умножить обе части на $x$:
$\frac{(x-1)^2}{x - 2} = 1$
$(x-1)^2 = x - 2$
$x^2 - 2x + 1 = x - 2$
$x^2 - 3x + 3 = 0$.
Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: таких значений аргумента не существует.