Номер 42.10, страница 247, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.10. а) $y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right), x_0 = \frac{\pi}{6};$

б) $y = \ctg\left(\frac{\pi}{3} - x\right), x_0 = \frac{\pi}{6};$

в) $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} - 4x\right), x_0 = \frac{\pi}{8};$

г) $y = \tg\left(3x - \frac{\pi}{4}\right), x_0 = \frac{\pi}{12}.$

а) $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3}), x_0 = \frac{\pi}{6}$

Для нахождения значения производной в точке, сначала найдем саму производную функции. Данная функция является сложной, поэтому для ее дифференцирования воспользуемся правилом производной сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Здесь внешняя функция $f(u) = \sin(u)$, а внутренняя $g(x) = 2x - \frac{\pi}{3}$.

Производная внешней функции: $(\sin(u))' = \cos(u)$.

Производная внутренней функции: $(2x - \frac{\pi}{3})' = 2$.

Следовательно, производная исходной функции равна:

$y' = (\sin(2x - \frac{\pi}{3}))' = \cos(2x - \frac{\pi}{3}) \cdot (2x - \frac{\pi}{3})' = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3})$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$y'(\frac{\pi}{6}) = 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) = 2\cos(0)$.

Так как $\cos(0) = 1$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2

б) $y = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3} - x), x_0 = \frac{\pi}{6}$

Найдем производную функции, используя цепное правило. Внешняя функция $f(u) = \operatorname{ctg}(u)$, внутренняя $g(x) = \frac{\pi}{3} - x$.

Производная внешней функции: $(\operatorname{ctg}(u))' = -\frac{1}{\sin^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $(\frac{\pi}{3} - x)' = -1$.

Таким образом, производная исходной функции:

$y' = (\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3} - x))' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{3} - x)} \cdot (\frac{\pi}{3} - x)' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{3} - x)} \cdot (-1) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{3} - x)}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$y'(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6})} = \frac{1}{\sin^2(\frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6})} = \frac{1}{\sin^2(\frac{\pi}{6})}$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$.

Ответ: 4

в) $y = \cos(\frac{\pi}{3} - 4x), x_0 = \frac{\pi}{8}$

Найдем производную функции по цепному правилу. Внешняя функция $f(u) = \cos(u)$, внутренняя $g(x) = \frac{\pi}{3} - 4x$.

Производная внешней функции: $(\cos(u))' = -\sin(u)$.

Производная внутренней функции: $(\frac{\pi}{3} - 4x)' = -4$.

Производная исходной функции:

$y' = (\cos(\frac{\pi}{3} - 4x))' = -\sin(\frac{\pi}{3} - 4x) \cdot (\frac{\pi}{3} - 4x)' = -\sin(\frac{\pi}{3} - 4x) \cdot (-4) = 4\sin(\frac{\pi}{3} - 4x)$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{8}$:

$y'(\frac{\pi}{8}) = 4\sin(\frac{\pi}{3} - 4 \cdot \frac{\pi}{8}) = 4\sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2})$.

Приведем аргумент синуса к общему знаменателю: $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$.

$y'(\frac{\pi}{8}) = 4\sin(-\frac{\pi}{6})$.

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-a) = -\sin(a)$ и зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{8}) = 4 \cdot (-\sin(\frac{\pi}{6})) = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$.

Ответ: -2

г) $y = \operatorname{tg}(3x - \frac{\pi}{4}), x_0 = \frac{\pi}{12}$

Найдем производную функции по цепному правилу. Внешняя функция $f(u) = \operatorname{tg}(u)$, внутренняя $g(x) = 3x - \frac{\pi}{4}$.

Производная внешней функции: $(\operatorname{tg}(u))' = \frac{1}{\cos^2(u)}$.

Производная внутренней функции: $(3x - \frac{\pi}{4})' = 3$.

Производная исходной функции:

$y' = (\operatorname{tg}(3x - \frac{\pi}{4}))' = \frac{1}{\cos^2(3x - \frac{\pi}{4})} \cdot (3x - \frac{\pi}{4})' = \frac{3}{\cos^2(3x - \frac{\pi}{4})}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$:

$y'(\frac{\pi}{12}) = \frac{3}{\cos^2(3 \cdot \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{4})} = \frac{3}{\cos^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4})} = \frac{3}{\cos^2(0)}$.

Так как $\cos(0) = 1$, получаем:

$y'(\frac{\pi}{12}) = \frac{3}{1^2} = 3$.

Ответ: 3