Номер 42.3, страница 246, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.3. а) $y = \text{tg} \left(5x - \frac{\pi}{4}\right)$;

В) $y = \text{ctg} \left(\frac{\pi}{6} - 4x\right)$;

б) $y = \sqrt{50 + 0.2x}$;

Г) $y = \sqrt{4 - 9x}$.

а) Дана функция $y = \tg(5x - \frac{\pi}{4})$.

Область определения функции тангенса, $y=\tg(z)$, задается условием, что ее аргумент не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Для данной функции аргумент равен $5x - \frac{\pi}{4}$. Следовательно, должно выполняться условие:

$5x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Решим это выражение относительно $x$:

$5x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$5x \neq \frac{2\pi + \pi}{4} + \pi n$

$5x \neq \frac{3\pi}{4} + \pi n$

Разделим обе части на 5:

$x \neq \frac{3\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \neq \frac{3\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $y = \sqrt{50 + 0,2x}$.

Область определения функции квадратного корня, $y=\sqrt{z}$, задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $z \ge 0$.

В данном случае подкоренное выражение равно $50 + 0,2x$. Следовательно, должно выполняться неравенство:

$50 + 0,2x \ge 0$

Решим это неравенство относительно $x$:

$0,2x \ge -50$

$x \ge \frac{-50}{0,2}$

$x \ge -250$

Область определения функции — это все значения $x$, которые больше или равны -250.

Ответ: $x \in [-250; +\infty)$.

в) Дана функция $y = \ctg(\frac{\pi}{6} - 4x)$.

Область определения функции котангенса, $y=\ctg(z)$, задается условием, что ее аргумент не должен быть равен $\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Для данной функции аргумент равен $\frac{\pi}{6} - 4x$. Следовательно, должно выполняться условие:

$\frac{\pi}{6} - 4x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Решим это выражение относительно $x$:

$-4x \neq \pi k - \frac{\pi}{6}$

Умножим обе части на -1:

$4x \neq \frac{\pi}{6} - \pi k$

Поскольку $k$ является любым целым числом, то $-k$ также представляет собой любое целое число. Для удобства записи мы можем заменить $-k$ на $n$, где $n \in \mathbb{Z}$:

$4x \neq \frac{\pi}{6} + \pi n$

Разделим обе части на 4:

$x \neq \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x \neq \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дана функция $y = \sqrt{4 - 9x}$.

Область определения функции квадратного корня, $y=\sqrt{z}$, задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $z \ge 0$.

В данном случае подкоренное выражение равно $4 - 9x$. Следовательно, должно выполняться неравенство:

$4 - 9x \ge 0$

Решим это неравенство относительно $x$:

$-9x \ge -4$

Разделим обе части на -9. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-4}{-9}$

$x \le \frac{4}{9}$

Область определения функции — это все значения $x$, которые меньше или равны $\frac{4}{9}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{9}]$.