Номер 42.6, страница 247, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.6. a) $y = (1 - x^3)^5;$

б) $y = \sqrt{x^3 + 3x^2 - 2x + 1};$

в) $y = \frac{1}{(x^2 - 7x + 8)^2};$

г) $y = \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2 + 5}}.$

а) Данная функция $y = (1 - x^3)^5$ является сложной. Для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
В нашем случае, внешняя функция $f(u) = u^5$, а внутренняя функция $g(x) = 1 - x^3$.
Находим производные этих функций:
$f'(u) = (u^5)' = 5u^4$.
$g'(x) = (1 - x^3)' = -3x^2$.
Теперь подставляем найденные производные в формулу цепного правила, заменяя $u$ на $g(x)$:
$y' = 5(1 - x^3)^4 \cdot (-3x^2)$.
Упрощаем выражение:
$y' = -15x^2(1 - x^3)^4$.
Ответ: $y' = -15x^2(1 - x^3)^4$.

б) Функция $y = \sqrt{x^3 + 3x^2 - 2x + 1}$ является сложной. Представим ее в виде $y = (x^3 + 3x^2 - 2x + 1)^{1/2}$.
Применим правило дифференцирования сложной функции.
Внешняя функция $f(u) = u^{1/2}$ (или $f(u) = \sqrt{u}$), внутренняя функция $g(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 1$.
Находим их производные:
$f'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.
$g'(x) = (x^3 + 3x^2 - 2x + 1)' = 3x^2 + 6x - 2$.
Подставляем в формулу производной сложной функции:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 3x^2 - 2x + 1}} \cdot (3x^2 + 6x - 2)$.
Запишем результат в виде одной дроби:
$y' = \frac{3x^2 + 6x - 2}{2\sqrt{x^3 + 3x^2 - 2x + 1}}$.
Ответ: $y' = \frac{3x^2 + 6x - 2}{2\sqrt{x^3 + 3x^2 - 2x + 1}}$.

в) Функцию $y = \frac{1}{(x^2 - 7x + 8)^2}$ можно переписать в виде $y = (x^2 - 7x + 8)^{-2}$.
Это сложная функция, для дифференцирования которой применим цепное правило.
Внешняя функция $f(u) = u^{-2}$, внутренняя функция $g(x) = x^2 - 7x + 8$.
Находим производные:
$f'(u) = (u^{-2})' = -2u^{-3} = -\frac{2}{u^3}$.
$g'(x) = (x^2 - 7x + 8)' = 2x - 7$.
Собираем производную исходной функции:
$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\frac{2}{(x^2 - 7x + 8)^3} \cdot (2x - 7)$.
Упрощаем и получаем окончательный вид:
$y' = -\frac{2(2x - 7)}{(x^2 - 7x + 8)^3}$.
Ответ: $y' = -\frac{2(2x - 7)}{(x^2 - 7x + 8)^3}$.

г) Данная функция $y = \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2 + 5}}$ является сложной. Внешняя функция — это квадратный корень, а внутренняя — дробно-рациональная функция.
Пусть $u(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 5}$, тогда $y = \sqrt{u}$.
По цепному правилу, $y' = (\sqrt{u})' \cdot u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'(x)$.
Сначала найдем производную внутренней функции $u(x)$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$:
$u'(x) = \left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 5}\right)' = \frac{(x^2 - 1)'(x^2 + 5) - (x^2 - 1)(x^2 + 5)'}{(x^2 + 5)^2}$.
$u'(x) = \frac{2x(x^2 + 5) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 5)^2} = \frac{2x^3 + 10x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 5)^2} = \frac{12x}{(x^2 + 5)^2}$.
Теперь подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для $y'$:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2 + 5}}} \cdot \frac{12x}{(x^2 + 5)^2}$.
Упростим выражение. Перевернем дробь под корнем в знаменателе:
$y' = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^2 + 5}{x^2 - 1}} \cdot \frac{12x}{(x^2 + 5)^2} = \frac{\sqrt{x^2 + 5}}{\sqrt{x^2 - 1}} \cdot \frac{6x}{(x^2 + 5)^2}$.
Сократим $\sqrt{x^2 + 5}$ и $(x^2 + 5)^2$:
$y' = \frac{6x}{\sqrt{x^2 - 1} \cdot (x^2 + 5)^{3/2}} = \frac{6x}{(x^2 + 5)\sqrt{x^2 - 1}\sqrt{x^2 + 5}}$.
Объединим корни в знаменателе:
$y' = \frac{6x}{(x^2 + 5)\sqrt{(x^2 - 1)(x^2 + 5)}} = \frac{6x}{(x^2 + 5)\sqrt{x^4 + 4x^2 - 5}}$.
Ответ: $y' = \frac{6x}{(x^2 + 5)\sqrt{x^4 + 4x^2 - 5}}$.