Номер 42.9, страница 247, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите значение производной функции в точке $x_0$:

42.9. a) $y = (3x - 2)^7$, $x_0 = 3$;

б) $y = \sqrt{25 - 9x}$, $x_0 = 1$;

в) $y = (4 - 5x)^7$, $x_0 = 1$;

г) $y = \sqrt{7x + 4}$, $x_0 = 3$.

а) Дана функция $y = (3x - 2)^7$ и точка $x_0 = 3$.
Для нахождения значения производной в точке $x_0$ необходимо сначала найти производную функции $y'(x)$. Данная функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
В нашем случае внешняя функция $f(u) = u^7$, а внутренняя функция $g(x) = 3x - 2$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (u^7)' = 7u^6$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (3x - 2)' = 3$.
Следовательно, производная исходной функции равна:
$y' = 7(3x - 2)^6 \cdot 3 = 21(3x - 2)^6$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:
$y'(3) = 21(3 \cdot 3 - 2)^6 = 21(9 - 2)^6 = 21 \cdot 7^6$.
Посчитаем $7^6$: $7^2=49$, $7^3=343$, $7^6 = (7^3)^2 = 343^2 = 117649$.
$y'(3) = 21 \cdot 117649 = 2470629$.
Ответ: $2470629$.

б) Дана функция $y = \sqrt{25 - 9x}$ и точка $x_0 = 1$.
Представим функцию в виде степени: $y = (25 - 9x)^{1/2}$.
Это сложная функция. Внешняя функция $f(u) = u^{1/2}$, внутренняя $g(x) = 25 - 9x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (25 - 9x)' = -9$.
По цепному правилу, производная исходной функции:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{25 - 9x}} \cdot (-9) = -\frac{9}{2\sqrt{25 - 9x}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$y'(1) = -\frac{9}{2\sqrt{25 - 9 \cdot 1}} = -\frac{9}{2\sqrt{25 - 9}} = -\frac{9}{2\sqrt{16}} = -\frac{9}{2 \cdot 4} = -\frac{9}{8}$.
Ответ: $-\frac{9}{8}$.

в) Дана функция $y = (4 - 5x)^7$ и точка $x_0 = 1$.
Для нахождения производной воспользуемся цепным правилом.
Внешняя функция $f(u) = u^7$, внутренняя функция $g(x) = 4 - 5x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = 7u^6$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (4 - 5x)' = -5$.
Производная исходной функции:
$y' = 7(4 - 5x)^6 \cdot (-5) = -35(4 - 5x)^6$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$y'(1) = -35(4 - 5 \cdot 1)^6 = -35(4 - 5)^6 = -35(-1)^6 = -35 \cdot 1 = -35$.
Ответ: $-35$.

г) Дана функция $y = \sqrt{7x + 4}$ и точка $x_0 = 3$.
Представим функцию в виде степени: $y = (7x + 4)^{1/2}$.
Это сложная функция. Внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$, внутренняя $g(x) = 7x + 4$.
Производная внешней функции: $f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (7x + 4)' = 7$.
По цепному правилу, производная исходной функции:
$y' = \frac{1}{2\sqrt{7x + 4}} \cdot 7 = \frac{7}{2\sqrt{7x + 4}}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:
$y'(3) = \frac{7}{2\sqrt{7 \cdot 3 + 4}} = \frac{7}{2\sqrt{21 + 4}} = \frac{7}{2\sqrt{25}} = \frac{7}{2 \cdot 5} = \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{7}{10}$.