Номер 42.13, страница 248, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Вычислите скорость изменения функции в точке $x_0$:

42.13. а) $y = (2x + 1)^5, x_0 = -1;$

б) $y = \sqrt{7x - 3}, x_0 = 1;$

в) $y = \frac{4}{12x - 5}, x_0 = 2;$

г) $y = \sqrt{11 - 5x}, x_0 = -1.$

Скорость изменения функции в точке $x_0$ равна значению производной этой функции в данной точке. То есть, чтобы найти скорость изменения, нужно найти производную функции $y'$ и вычислить её значение при $x = x_0$.

а) Дана функция $y = (2x + 1)^5$ и точка $x_0 = -1$.

Найдем производную функции. Это сложная функция, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция — степенная, а внутренняя — линейная $g(x) = 2x+1$.

Производная будет равна:

$y' = 5(2x + 1)^{5-1} \cdot (2x + 1)' = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$y'(-1) = 10(2(-1) + 1)^4 = 10(-2 + 1)^4 = 10(-1)^4 = 10 \cdot 1 = 10$.

Ответ: $10$.

б) Дана функция $y = \sqrt{7x - 3}$ и точка $x_0 = 1$.

Представим функцию в виде $y = (7x - 3)^{\frac{1}{2}}$. Это сложная функция.

Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции и формулу для степенной функции $(u^n)'=nu^{n-1} \cdot u'$.

$y' = \frac{1}{2}(7x - 3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (7x - 3)' = \frac{1}{2}(7x - 3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 7 = \frac{7}{2(7x - 3)^{\frac{1}{2}}} = \frac{7}{2\sqrt{7x - 3}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$y'(1) = \frac{7}{2\sqrt{7(1) - 3}} = \frac{7}{2\sqrt{7 - 3}} = \frac{7}{2\sqrt{4}} = \frac{7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4}$.

Ответ: $\frac{7}{4}$.

в) Дана функция $y = \frac{4}{12x - 5}$ и точка $x_0 = 2$.

Представим функцию в виде $y = 4(12x - 5)^{-1}$. Это сложная функция.

Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = 4 \cdot (-1)(12x - 5)^{-1-1} \cdot (12x - 5)' = -4(12x - 5)^{-2} \cdot 12 = -48(12x - 5)^{-2} = \frac{-48}{(12x - 5)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$y'(2) = \frac{-48}{(12(2) - 5)^2} = \frac{-48}{(24 - 5)^2} = \frac{-48}{19^2} = -\frac{48}{361}$.

Ответ: $-\frac{48}{361}$.

г) Дана функция $y = \sqrt{11 - 5x}$ и точка $x_0 = -1$.

Представим функцию в виде $y = (11 - 5x)^{\frac{1}{2}}$. Это сложная функция.

Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$y' = \frac{1}{2}(11 - 5x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (11 - 5x)' = \frac{1}{2}(11 - 5x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-5) = \frac{-5}{2(11 - 5x)^{\frac{1}{2}}} = \frac{-5}{2\sqrt{11 - 5x}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$y'(-1) = \frac{-5}{2\sqrt{11 - 5(-1)}} = \frac{-5}{2\sqrt{11 + 5}} = \frac{-5}{2\sqrt{16}} = \frac{-5}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{8}$.

Ответ: $-\frac{5}{8}$.