Номер 42.15, страница 248, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.15. а) $y = \sqrt{4x^2 - 20x + 25}, x_0 = 3;$

б) $y = \sqrt{\sin^2 x - 2 \sin x + 1}, x_0 = \frac{\pi}{3};$

в) $y = \sqrt{1 - 10x + 25x^2}, x_0 = 1;$

г) $y = \sqrt{1 - \cos x + \frac{1}{4}\cos^2 x}, x_0 = \frac{\pi}{4}.$

а) Дана функция $y = \sqrt{4x^2 - 20x + 25}$ и точка $x_0 = 3$.

Сначала упростим выражение под корнем. Заметим, что $4x^2 - 20x + 25$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=2x$ и $b=5$.

Таким образом, $y = \sqrt{(2x - 5)^2}$.

Используя свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем функцию в виде $y = |2x - 5|$.

Теперь найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:

$y(3) = |2 \cdot 3 - 5| = |6 - 5| = |1| = 1$.

Ответ: 1

б) Дана функция $y = \sqrt{\sin^2 x - 2 \sin x + 1}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Выражение под корнем $\sin^2 x - 2 \sin x + 1$ является полным квадратом разности $(\sin x - 1)^2$.

Тогда функция принимает вид $y = \sqrt{(\sin x - 1)^2} = |\sin x - 1|$.

Поскольку значение функции $\sin x$ никогда не превышает 1 (т.е. $\sin x \le 1$), выражение $\sin x - 1$ всегда будет меньше или равно нулю. Следовательно, при раскрытии модуля мы меняем знак: $|\sin x - 1| = -(\sin x - 1) = 1 - \sin x$.

Итак, $y = 1 - \sin x$.

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$y(\frac{\pi}{3}) = 1 - \sin(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

в) Дана функция $y = \sqrt{1 - 10x + 25x^2}$ и точка $x_0 = 1$.

Перепишем выражение под корнем в стандартном виде: $25x^2 - 10x + 1$. Это полный квадрат разности $(5x - 1)^2$ или, что то же самое, $(1-5x)^2$.

Функция имеет вид $y = \sqrt{(1 - 5x)^2} = |1 - 5x|$.

Подставим значение $x_0 = 1$:

$y(1) = |1 - 5 \cdot 1| = |1 - 5| = |-4| = 4$.

Ответ: 4

г) Дана функция $y = \sqrt{1 - \cos x + \frac{1}{4}\cos^2 x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$.

Выражение под корнем $1 - \cos x + \frac{1}{4}\cos^2 x$ является полным квадратом разности $(1 - \frac{1}{2}\cos x)^2$.

Тогда функция принимает вид $y = \sqrt{(1 - \frac{1}{2}\cos x)^2} = |1 - \frac{1}{2}\cos x|$.

Область значений функции $\cos x$ - это отрезок $[-1, 1]$. Тогда $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\cos x \le \frac{1}{2}$. Выражение $1 - \frac{1}{2}\cos x$ всегда будет положительным (его значения лежат в отрезке $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$). Поэтому модуль можно опустить.

Итак, $y = 1 - \frac{1}{2}\cos x$.

Подставим значение $x_0 = \frac{\pi}{4}$:

$y(\frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{2}}{4}$