Номер 42.16, страница 248, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.16. a) $y = (x - \sin x)^2, x_0 = \pi;$

б) $y = \sqrt{\frac{1 - \sin x}{\cos x}}, x_0 = \frac{\pi}{4};$

в) $y = \sqrt{(\sin x + 1) \cos x}, x_0 = \frac{\pi}{6};$

г) $y = (\operatorname{tg} x - 1)^4, x_0 = \frac{\pi}{4}.$

а) Дана функция $y = (x - \sin x)^2$ и точка $x_0 = \pi$. Для нахождения производной в точке необходимо сначала найти производную функции $y'(x)$, а затем подставить в нее значение $x_0$. Это сложная функция вида $y = u(x)^2$, где $u(x) = x - \sin x$. Применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $y' = (u^2)'_u \cdot u'_x = 2u \cdot u'$. Находим производную $u'(x)$: $u'(x) = (x - \sin x)' = (x)' - (\sin x)' = 1 - \cos x$. Теперь подставляем всё в формулу для $y'$: $y'(x) = 2(x - \sin x) \cdot (1 - \cos x)$. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \pi$: $y'(\pi) = 2(\pi - \sin \pi) \cdot (1 - \cos \pi)$. Зная, что $\sin \pi = 0$ и $\cos \pi = -1$, получаем: $y'(\pi) = 2(\pi - 0) \cdot (1 - (-1)) = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.
Ответ: $4\pi$.

б) Дана функция $y = \sqrt{\frac{1 - \sin x}{\cos x}}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Это сложная функция вида $y = \sqrt{u(x)}$, где $u(x) = \frac{1 - \sin x}{\cos x}$. Ее производная находится по цепному правилу: $y' = (\sqrt{u})'_u \cdot u'_x = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$. Сначала найдем производную $u'(x)$ по правилу дифференцирования частного: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$. Здесь $f(x) = 1 - \sin x$ и $g(x) = \cos x$. $f'(x) = -\cos x$. $g'(x) = -\sin x$. $u'(x) = \frac{(-\cos x)(\cos x) - (1 - \sin x)(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{-\cos^2 x + \sin x - \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x - (\sin^2 x + \cos^2 x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x - 1}{\cos^2 x}$. Теперь подставляем $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для $y'$: $y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1 - \sin x}{\cos x}}} \cdot \frac{\sin x - 1}{\cos^2 x}$. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$. При $x_0 = \frac{\pi}{4}$: $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1 - \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}}} \cdot \frac{\sqrt{2}/2 - 1}{(\sqrt{2}/2)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{(2-\sqrt{2})/2}{\sqrt{2}/2}}} \cdot \frac{(\sqrt{2}-2)/2}{2/4} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}} \cdot (\sqrt{2}-2)$. Упростим выражение под корнем: $\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$. $y'(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{\sqrt{2}-1}} \cdot (\sqrt{2}-2) = \frac{\sqrt{2}(1-\sqrt{2})}{2\sqrt{\sqrt{2}-1}} = -\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{\sqrt{2}-1}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\sqrt{2}-1} = -\sqrt{\frac{2}{4}(\sqrt{2}-1)} = -\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.
Ответ: $-\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}}$.

в) Дана функция $y = \sqrt{(\sin x + 1)\cos x}$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$. Это сложная функция вида $y = \sqrt{u(x)}$, где $u(x) = (\sin x + 1)\cos x$. Производная: $y' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$. Найдем $u'(x)$ по правилу дифференцирования произведения: $(fg)' = f'g + fg'$. Здесь $f(x) = \sin x + 1$ и $g(x) = \cos x$. $f'(x) = \cos x$. $g'(x) = -\sin x$. $u'(x) = (\cos x)(\cos x) + (\sin x + 1)(-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x - \sin x$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$, получаем: $u'(x) = \cos(2x) - \sin x$. Тогда производная функции $y$ равна: $y'(x) = \frac{\cos(2x) - \sin x}{2\sqrt{(\sin x + 1)\cos x}}$. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$. При $x_0 = \frac{\pi}{6}$: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Подставляем эти значения в числитель производной: $\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) - \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$. Знаменатель в этой точке не равен нулю: $2\sqrt{(\frac{1}{2}+1)\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{3\sqrt{3}} \ne 0$. Следовательно, значение производной равно: $y'(\frac{\pi}{6}) = \frac{0}{\sqrt{3\sqrt{3}}} = 0$.
Ответ: $0$.

г) Дана функция $y = (\text{tg} \, x - 1)^4$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Это сложная функция вида $y = u(x)^4$, где $u(x) = \text{tg} \, x - 1$. Применяем цепное правило: $y' = 4u^3 \cdot u'$. Находим производную $u'(x)$: $u'(x) = (\text{tg} \, x - 1)' = (\text{tg} \, x)' - (1)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 0 = \frac{1}{\cos^2 x}$. Теперь подставляем всё в формулу для $y'$: $y'(x) = 4(\text{tg} \, x - 1)^3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$: $y'(\frac{\pi}{4}) = 4(\text{tg} \, \frac{\pi}{4} - 1)^3 \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$. Зная, что $\text{tg} \, \frac{\pi}{4} = 1$ и $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем $\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. $y'(\frac{\pi}{4}) = 4(1 - 1)^3 \cdot \frac{1}{1/2} = 4 \cdot 0^3 \cdot 2 = 0$.
Ответ: $0$.