Номер 42.23, страница 249, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.23. a) Дано: $f(x) = a \sin 2x + b \cos x$, $f'(\frac{\pi}{6}) = 2$, $f'(\frac{9\pi}{2}) = -4$. Чему равны $a$ и $b$?

б) Дано: $f(x) = a \cos 2x + b \sin 4x$, $f'(\frac{7\pi}{12}) = 4$, $f'(\frac{3\pi}{4}) = 2$. Чему равны $a$ и $b$?

а) Дана функция $f(x) = a \sin 2x + b \cos x$ и условия $f'(\frac{\pi}{6}) = 2$, $f'(\frac{9\pi}{2}) = -4$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (a \sin 2x + b \cos x)' = a \cdot (\sin 2x)' + b \cdot (\cos x)' = a \cdot \cos 2x \cdot 2 + b \cdot (-\sin x) = 2a \cos 2x - b \sin x$.

2. Используем первое условие $f'(\frac{\pi}{6}) = 2$. Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{6}) = 2a \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) - b \sin(\frac{\pi}{6}) = 2a \cos(\frac{\pi}{3}) - b \sin(\frac{\pi}{6})$.

Зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$2a \cdot \frac{1}{2} - b \cdot \frac{1}{2} = 2$

$a - \frac{b}{2} = 2$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2a - b = 4$ (1)

3. Используем второе условие $f'(\frac{9\pi}{2}) = -4$. Подставим $x = \frac{9\pi}{2}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{9\pi}{2}) = 2a \cos(2 \cdot \frac{9\pi}{2}) - b \sin(\frac{9\pi}{2}) = 2a \cos(9\pi) - b \sin(\frac{9\pi}{2})$.

Зная, что $\cos(9\pi) = \cos(\pi + 8\pi) = \cos(\pi) = -1$ и $\sin(\frac{9\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + 4\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$2a \cdot (-1) - b \cdot 1 = -4$

$-2a - b = -4$

Умножим обе части на -1:

$2a + b = 4$ (2)

4. Решим систему из двух линейных уравнений (1) и (2):

$\begin{cases} 2a - b = 4 \\ 2a + b = 4 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(2a - b) + (2a + b) = 4 + 4$

$4a = 8$

$a = 2$

Подставим значение $a=2$ во второе уравнение:

$2(2) + b = 4$

$4 + b = 4$

$b = 0$

Ответ: $a=2$, $b=0$.

б) Дана функция $f(x) = a \cos 2x + b \sin 4x$ и условия $f'(\frac{7\pi}{12}) = 4$, $f'(\frac{3\pi}{4}) = 2$.

1. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (a \cos 2x + b \sin 4x)' = a \cdot (\cos 2x)' + b \cdot (\sin 4x)' = a \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 + b \cdot \cos 4x \cdot 4 = -2a \sin 2x + 4b \cos 4x$.

2. Используем первое условие $f'(\frac{7\pi}{12}) = 4$. Подставим $x = \frac{7\pi}{12}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{7\pi}{12}) = -2a \sin(2 \cdot \frac{7\pi}{12}) + 4b \cos(4 \cdot \frac{7\pi}{12}) = -2a \sin(\frac{7\pi}{6}) + 4b \cos(\frac{7\pi}{3})$.

Зная, что $\sin(\frac{7\pi}{6}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{7\pi}{3}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$-2a \cdot (-\frac{1}{2}) + 4b \cdot \frac{1}{2} = 4$

$a + 2b = 4$ (1)

3. Используем второе условие $f'(\frac{3\pi}{4}) = 2$. Подставим $x = \frac{3\pi}{4}$ в выражение для производной:

$f'(\frac{3\pi}{4}) = -2a \sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) + 4b \cos(4 \cdot \frac{3\pi}{4}) = -2a \sin(\frac{3\pi}{2}) + 4b \cos(3\pi)$.

Зная, что $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$ и $\cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = \cos(\pi) = -1$, получаем:

$-2a \cdot (-1) + 4b \cdot (-1) = 2$

$2a - 4b = 2$

Разделим обе части на 2:

$a - 2b = 1$ (2)

4. Решим систему из двух линейных уравнений (1) и (2):

$\begin{cases} a + 2b = 4 \\ a - 2b = 1 \end{cases}$

Сложим первое и второе уравнения:

$(a + 2b) + (a - 2b) = 4 + 1$

$2a = 5$

$a = 2.5$

Подставим значение $a=2.5$ в первое уравнение:

$2.5 + 2b = 4$

$2b = 4 - 2.5$

$2b = 1.5$

$b = 0.75$

Ответ: $a=2.5$, $b=0.75$.