Номер 42.24, страница 249, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.24. Решите уравнение $f'(x) = 0$, если:

a) $f(x) = \sqrt{\cos 2x}$;

б) $f(x) = \operatorname{tg}^2 x$;

в) $f(x) = \sin^4 x$;

г) $f(x) = \cos^3 x - \sin^3 x$.

а) Дана функция $f(x) = \sqrt{\cos 2x}$.
Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: $\cos 2x \ge 0$.
Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\sqrt{\cos 2x})' = \frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}} \cdot (\cos 2x)' = \frac{1}{2\sqrt{\cos 2x}} \cdot (-\sin 2x \cdot 2) = -\frac{\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}}$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$-\frac{\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель существует и отличен от нуля. Это приводит к системе условий: $\sin 2x = 0$ и $\cos 2x > 0$.
Из уравнения $\sin 2x = 0$ находим $2x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x = \frac{\pi n}{2}$.
Теперь нужно проверить, для каких из этих значений выполняется условие $\cos 2x > 0$. Подставим найденные корни:
$\cos(2 \cdot \frac{\pi n}{2}) = \cos(\pi n)$.
Значение $\cos(\pi n)$ равно $1$ при четных $n$ и $-1$ при нечетных $n$. Условию $\cos(\pi n) > 0$ удовлетворяют только четные значения $n$.
Пусть $n=2k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда решениями будут $x = \frac{\pi(2k)}{2} = \pi k$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дана функция $f(x) = \operatorname{tg}^2 x$.
Область определения функции: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (\operatorname{tg}^2 x)' = 2 \operatorname{tg} x \cdot (\operatorname{tg} x)' = 2 \operatorname{tg} x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2 \operatorname{tg} x}{\cos^2 x}$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$\frac{2 \operatorname{tg} x}{\cos^2 x} = 0$.
Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
$2 \operatorname{tg} x = 0$, откуда $\operatorname{tg} x = 0$.
Решением этого уравнения является $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Эти значения удовлетворяют области определения, так как $\cos(\pi n) = \pm 1 \neq 0$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Дана функция $f(x) = \sin^4 x$.
Область определения функции: все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin^4 x)' = 4\sin^3 x \cdot (\sin x)' = 4\sin^3 x \cos x$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$4\sin^3 x \cos x = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два случая:
1) $\sin^3 x = 0 \implies \sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединение этих двух множеств решений дает все точки, кратные $\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дана функция $f(x) = \cos^3 x - \sin^3 x$.
Область определения функции: все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную функции:
$f'(x) = (\cos^3 x)' - (\sin^3 x)' = 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) - 3\sin^2 x \cdot (\cos x) = -3\sin x \cos^2 x - 3\sin^2 x \cos x$.
Вынесем общий множитель $-3\sin x \cos x$ за скобки:
$f'(x) = -3\sin x \cos x (\cos x + \sin x)$.
Решим уравнение $f'(x) = 0$:
$-3\sin x \cos x (\cos x + \sin x) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассматриваем три случая:
1) $\sin x = 0 \implies x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти два случая можно объединить. Условие $\sin x = 0$ или $\cos x = 0$ эквивалентно $\sin(2x) = 2\sin x \cos x = 0$, откуда $2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}$, где $m \in \mathbb{Z}$.
3) $\cos x + \sin x = 0 \implies \sin x = -\cos x$. Если $\cos x \neq 0$, можно разделить обе части на $\cos x$, получив $\operatorname{tg} x = -1$. Отсюда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi l$, где $l \in \mathbb{Z}$. (Если бы $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно, т.к. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$).
Таким образом, получаем два независимых семейства решений.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.