Номер 42.29, страница 250, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.29. Определите абсциссы точек, в которых касательные к графику функции $y = h(x)$ образуют с положительным направлением оси абсцисс заданный угол $\alpha$:

a) $h(x) = 2 \cdot \sqrt{2x - 4}$, $\alpha = 60^{\circ}$;

б) $h(x) = \sin \left(4x - \frac{\pi}{3}\right)$, $\alpha = 0^{\circ}$.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции $h(x)$ в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент $k$ касательной связан с углом $\alpha$ ее наклона к положительному направлению оси абсцисс соотношением $k = \tan(\alpha)$. Таким образом, чтобы найти абсциссы искомых точек, нужно решить уравнение $h'(x) = \tan(\alpha)$.

Дана функция $h(x) = 2 \cdot \sqrt{2x - 4}$ и угол $\alpha = 60°$.

1. Найдем производную функции $h(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$h'(x) = (2\sqrt{2x - 4})' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x - 4}} \cdot (2x - 4)' = \frac{1}{\sqrt{2x - 4}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{2x - 4}}$.

Область определения производной: $2x - 4 > 0$, то есть $x > 2$.

2. Найдем тангенс заданного угла наклона:

$k = \tan(\alpha) = \tan(60°) = \sqrt{3}$.

3. Приравняем производную к тангенсу угла наклона и решим уравнение:

$h'(x) = k$

$\frac{2}{\sqrt{2x - 4}} = \sqrt{3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{4}{2x - 4} = 3$

$4 = 3(2x - 4)$

$4 = 6x - 12$

$6x = 16$

$x = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.

4. Проверим, принадлежит ли найденное значение области определения производной.

Так как $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, то $x = \frac{8}{3} > 2$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{8}{3}$.

Дана функция $h(x) = \sin(4x - \frac{\pi}{3})$ и угол $\alpha = 0°$.

1. Найдем производную функции $h(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:

$h'(x) = (\sin(4x - \frac{\pi}{3}))' = \cos(4x - \frac{\pi}{3}) \cdot (4x - \frac{\pi}{3})' = 4\cos(4x - \frac{\pi}{3})$.

Область определения производной — все действительные числа.

2. Найдем тангенс заданного угла наклона:

$k = \tan(\alpha) = \tan(0°) = 0$.

3. Приравняем производную к тангенсу угла наклона и решим уравнение:

$h'(x) = k$

$4\cos(4x - \frac{\pi}{3}) = 0$

$\cos(4x - \frac{\pi}{3}) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения имеют вид:

$4x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел).

Выразим $x$:

$4x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + \pi n$

$4x = \frac{2\pi + 3\pi}{6} + \pi n$

$4x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$

$x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}$, $n \in \mathbb{Z}$.