Номер 42.34, страница 250, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.34. Найдите значение производной функции в точке $x_0$:

a) $y = (\arccos x)^3, x_0 = 0;$

б) $y = \frac{2}{\sqrt{3}}\operatorname{arctg}\frac{2x+1}{\sqrt{3}}, x_0 = -1;$

в) $y = \arcsin \sqrt{x}, x_0 = \frac{1}{2};$

г) $y = \arccos \frac{2-x}{x\sqrt{2}}, x_0 = 1.$

а) Дана функция $y = (\arccos x)^3$ и точка $x_0 = 0$.
Для нахождения значения производной в точке, сначала найдем производную функции $y'(x)$. Это сложная функция, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Пусть внешняя функция $f(u) = u^3$, а внутренняя $g(x) = \arccos x$.
Их производные: $f'(u) = 3u^2$ и $g'(x) = (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
Тогда производная исходной функции равна:
$y' = 3(\arccos x)^2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = -\frac{3(\arccos x)^2}{\sqrt{1-x^2}}$.
Теперь подставим значение $x_0 = 0$ в выражение для производной:
$y'(0) = -\frac{3(\arccos 0)^2}{\sqrt{1-0^2}}$.
Мы знаем, что $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$.
$y'(0) = -\frac{3\left(\frac{\pi}{2}\right)^2}{\sqrt{1}} = -3 \cdot \frac{\pi^2}{4} = -\frac{3\pi^2}{4}$.
Ответ: $-\frac{3\pi^2}{4}$.

б) Дана функция $y = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\frac{2x+1}{\sqrt{3}}$ и точка $x_0 = -1$.
Найдем производную $y'(x)$ по цепному правилу. Пусть $u = \frac{2x+1}{\sqrt{3}}$.
$y' = \left(\frac{2}{\sqrt{3}} \arctan u\right)' = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot (\arctan u)' \cdot u'$.
Производная арктангенса $(\arctan u)' = \frac{1}{1+u^2}$.
Производная внутренней функции $u' = \left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)' = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
Собираем все вместе:
$y' = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{(2x+1)^2}{3}}$.
Упростим выражение:
$y' = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 + (2x+1)^2}{3}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{3 + 4x^2 + 4x + 1} = \frac{4}{4x^2 + 4x + 4} = \frac{4}{4(x^2+x+1)} = \frac{1}{x^2+x+1}$.
Теперь подставим значение $x_0 = -1$:
$y'(-1) = \frac{1}{(-1)^2 + (-1) + 1} = \frac{1}{1 - 1 + 1} = \frac{1}{1} = 1$.
Ответ: $1$.

в) Дана функция $y = \arcsin\sqrt{x}$ и точка $x_0 = \frac{1}{2}$.
Найдем производную $y'(x)$ по цепному правилу. Пусть $u = \sqrt{x}$.
$y' = (\arcsin u)' \cdot u'$.
Производная арксинуса $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$.
Производная внутренней функции $u' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Тогда:
$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$.
Подставим значение $x_0 = \frac{1}{2}$:
$y'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1$.
Ответ: $1$.

г) Дана функция $y = \arccos\frac{2-x}{x\sqrt{2}}$ и точка $x_0 = 1$.
Найдем производную $y'(x)$, используя цепное правило и правило дифференцирования частного.
Пусть $u = \frac{2-x}{x\sqrt{2}}$. Тогда $y' = (\arccos u)' \cdot u' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$.
Найдем $u'$ по правилу частного $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$:
$u' = \frac{(2-x)'(x\sqrt{2}) - (2-x)(x\sqrt{2})'}{(x\sqrt{2})^2} = \frac{(-1)(x\sqrt{2}) - (2-x)(\sqrt{2})}{2x^2} = \frac{-x\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + x\sqrt{2}}{2x^2} = \frac{-2\sqrt{2}}{2x^2} = -\frac{\sqrt{2}}{x^2}$.
Подставим $u$ и $u'$ в формулу производной:
$y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{2-x}{x\sqrt{2}}\right)^2}} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{x^2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{x^2\sqrt{1 - \frac{(2-x)^2}{2x^2}}}$.
Упростим выражение под корнем:
$y' = \frac{\sqrt{2}}{x^2\sqrt{\frac{2x^2 - (4-4x+x^2)}{2x^2}}} = \frac{\sqrt{2}}{x^2\frac{\sqrt{x^2+4x-4}}{\sqrt{2x^2}}} = \frac{\sqrt{2} \cdot x\sqrt{2}}{x^2\sqrt{x^2+4x-4}} = \frac{2x}{x^2\sqrt{x^2+4x-4}} = \frac{2}{x\sqrt{x^2+4x-4}}$.
Теперь подставим значение $x_0 = 1$:
$y'(1) = \frac{2}{1 \cdot \sqrt{1^2 + 4(1) - 4}} = \frac{2}{\sqrt{1+4-4}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2$.
Ответ: $2$.