Номер 42.28, страница 250, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.28. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию

$f'(x) = g'(x)$, если:

a) $f(x) = \sin (2x - 3)$, $g(x) = \cos (2x - 3)$;

б) $f(x) = \sqrt{3x - 10}$, $g(x) = \sqrt{14 + 6x}$.

а) Даны функции $f(x) = \sin(2x - 3)$ и $g(x) = \cos(2x - 3)$. Необходимо найти значения аргумента $x$, для которых выполняется условие $f'(x) = g'(x)$.

Сначала найдем производные данных функций. Будем использовать правило дифференцирования сложной функции: $(h(u(x)))' = h'(u) \cdot u'(x)$.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin(2x - 3))' = \cos(2x - 3) \cdot (2x - 3)' = 2\cos(2x - 3)$.

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (\cos(2x - 3))' = -\sin(2x - 3) \cdot (2x - 3)' = -2\sin(2x - 3)$.

Теперь приравняем производные:

$f'(x) = g'(x)$

$2\cos(2x - 3) = -2\sin(2x - 3)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\cos(2x - 3) = -\sin(2x - 3)$

Разделим обе части на $\cos(2x - 3)$. Это можно сделать, так как если $\cos(2x - 3) = 0$, то $\sin(2x - 3) = \pm 1$, и равенство $0 = -(\pm 1)$ неверно. Следовательно, $\cos(2x - 3) \neq 0$.

$1 = -\frac{\sin(2x - 3)}{\cos(2x - 3)}$

$1 = -\tan(2x - 3)$

$\tan(2x - 3) = -1$

Решим полученное тригонометрическое уравнение:

$2x - 3 = \arctan(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x - 3 = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $x$:

$2x = 3 - \frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Даны функции $f(x) = \sqrt{3x - 10}$ и $g(x) = \sqrt{14 + 6x}$. Необходимо найти значения аргумента $x$, для которых выполняется условие $f'(x) = g'(x)$.

Сначала определим область определения для производных. Производная функции $\sqrt{u}$ существует, когда подкоренное выражение строго больше нуля.

Для $f'(x)$: $3x - 10 > 0 \implies 3x > 10 \implies x > \frac{10}{3}$.

Для $g'(x)$: $14 + 6x > 0 \implies 6x > -14 \implies x > -\frac{14}{6} \implies x > -\frac{7}{3}$.

Общая область определения для уравнения $f'(x) = g'(x)$ — это пересечение этих условий, то есть $x > \frac{10}{3}$.

Теперь найдем производные, используя правило $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Производная функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{3x - 10})' = \frac{(3x - 10)'}{2\sqrt{3x - 10}} = \frac{3}{2\sqrt{3x - 10}}$.

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (\sqrt{14 + 6x})' = \frac{(14 + 6x)'}{2\sqrt{14 + 6x}} = \frac{6}{2\sqrt{14 + 6x}} = \frac{3}{\sqrt{14 + 6x}}$.

Приравняем производные:

$\frac{3}{2\sqrt{3x - 10}} = \frac{3}{\sqrt{14 + 6x}}$

Поскольку числители равны 3 (и не равны нулю), мы можем приравнять знаменатели:

$2\sqrt{3x - 10} = \sqrt{14 + 6x}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2\sqrt{3x - 10})^2 = (\sqrt{14 + 6x})^2$

$4(3x - 10) = 14 + 6x$

Раскроем скобки и решим линейное уравнение:

$12x - 40 = 14 + 6x$

$12x - 6x = 14 + 40$

$6x = 54$

$x = \frac{54}{6}$

$x = 9$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень области определения $x > \frac{10}{3}$. Так как $9 > 3\frac{1}{3}$, корень $x=9$ является решением.

Ответ: $x = 9$.