Номер 42.25, страница 249, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.25. Решите неравенство $y' \le 0$, если:

a) $y = \frac{(1-3x)^3}{(2-7x)^5}$;

б) $y = \frac{(2x+3)^4}{(2-5x)^5}$.

а) Дана функция $y = \frac{(1-3x)^3}{(2-7x)^5}$.

Для решения неравенства $y' \le 0$ сначала найдем производную функции $y$ по $x$. Будем использовать правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ и правило дифференцирования сложной функции.

Пусть $u(x) = (1-3x)^3$ и $v(x) = (2-7x)^5$. Найдем их производные:

$u'(x) = 3(1-3x)^2 \cdot (1-3x)' = 3(1-3x)^2 \cdot (-3) = -9(1-3x)^2$.

$v'(x) = 5(2-7x)^4 \cdot (2-7x)' = 5(2-7x)^4 \cdot (-7) = -35(2-7x)^4$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной частного:

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{-9(1-3x)^2 (2-7x)^5 - (1-3x)^3 [-35(2-7x)^4]}{((2-7x)^5)^2}$

$y' = \frac{-9(1-3x)^2 (2-7x)^5 + 35(1-3x)^3 (2-7x)^4}{(2-7x)^{10}}$

Вынесем общие множители $(1-3x)^2(2-7x)^4$ в числителе за скобки:

$y' = \frac{(1-3x)^2 (2-7x)^4 [-9(2-7x) + 35(1-3x)]}{(2-7x)^{10}}$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$-9(2-7x) + 35(1-3x) = -18 + 63x + 35 - 105x = 17 - 42x$.

Подставим это выражение обратно и сократим дробь на $(2-7x)^4$ (область определения функции $y$ и ее производной $y'$ исключает точку $x=2/7$):

$y' = \frac{(1-3x)^2 (17 - 42x)}{(2-7x)^6}$.

Теперь решим неравенство $y' \le 0$:

$\frac{(1-3x)^2 (17 - 42x)}{(2-7x)^6} \le 0$.

Знаменатель $(2-7x)^6$ всегда положителен при $x \ne 2/7$, так как показатель степени четный. Множитель $(1-3x)^2$ в числителе всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = 1/3$.

Следовательно, знак дроби определяется знаком множителя $(17 - 42x)$. Неравенство выполняется в двух случаях:

1. Когда числитель равен нулю, то есть $(1-3x)^2 = 0$. Отсюда $1-3x = 0$, $x = 1/3$. В этой точке $y' = 0$, что удовлетворяет условию $y' \le 0$.

2. Когда множитель $17 - 42x$ отрицателен (а множители $(1-3x)^2$ и $(2-7x)^6$ положительны), т.е. $17 - 42x < 0$. Решаем это неравенство: $17 < 42x$, откуда $x > \frac{17}{42}$. Равенство $17-42x=0$ дает $x=\frac{17}{42}$, что тоже является решением.

Объединяя эти случаи, получаем, что неравенство $y' \le 0$ выполняется при $x = 1/3$ и при $x \ge \frac{17}{42}$.

Ответ: $x \in \{\frac{1}{3}\} \cup [\frac{17}{42}, +\infty)$.

б) Дана функция $y = \frac{(2x+3)^4}{(2-5x)^5}$.

Аналогично пункту а), найдем производную $y'$.

Пусть $u(x) = (2x+3)^4$ и $v(x) = (2-5x)^5$.

$u'(x) = 4(2x+3)^3 \cdot (2x+3)' = 4(2x+3)^3 \cdot 2 = 8(2x+3)^3$.

$v'(x) = 5(2-5x)^4 \cdot (2-5x)' = 5(2-5x)^4 \cdot (-5) = -25(2-5x)^4$.

Применим формулу производной частного:

$y' = \frac{8(2x+3)^3 (2-5x)^5 - (2x+3)^4 [-25(2-5x)^4]}{((2-5x)^5)^2}$

$y' = \frac{8(2x+3)^3 (2-5x)^5 + 25(2x+3)^4 (2-5x)^4}{(2-5x)^{10}}$

Вынесем общие множители $(2x+3)^3(2-5x)^4$ в числителе:

$y' = \frac{(2x+3)^3 (2-5x)^4 [8(2-5x) + 25(2x+3)]}{(2-5x)^{10}}$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$8(2-5x) + 25(2x+3) = 16 - 40x + 50x + 75 = 10x + 91$.

Подставим и сократим дробь на $(2-5x)^4$ (при $x \ne 2/5$):

$y' = \frac{(2x+3)^3 (10x + 91)}{(2-5x)^6}$.

Теперь решим неравенство $y' \le 0$:

$\frac{(2x+3)^3 (10x + 91)}{(2-5x)^6} \le 0$.

Знаменатель $(2-5x)^6$ всегда положителен при $x \ne 2/5$. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя. Решаем неравенство:

$(2x+3)^3 (10x + 91) \le 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни числителя:

$(2x+3)^3 = 0 \implies 2x+3=0 \implies x_1 = -\frac{3}{2}$.

$10x+91 = 0 \implies 10x=-91 \implies x_2 = -\frac{91}{10}$.

Отметим точки $x_1 = -1.5$ и $x_2 = -9.1$ на числовой прямой. Они разбивают ее на три интервала. Определим знак выражения $(2x+3)^3 (10x + 91)$ на каждом из них. Поскольку оба корня имеют нечетную кратность, знак будет чередоваться. На крайнем правом интервале $(-\frac{3}{2}, +\infty)$ выражение положительно (например, при $x=0$ получаем $(+)^3(+) > 0$). Двигаясь влево, на интервале $(-\frac{91}{10}, -\frac{3}{2})$ выражение будет отрицательно, а на интервале $(-\infty, -\frac{91}{10})$ — снова положительно.

Нас интересует, где выражение меньше или равно нулю. Это происходит на отрезке, включающем концы, так как неравенство нестрогое: $[-\frac{91}{10}, -\frac{3}{2}]$.

Точка $x=2/5$, исключенная из области определения, не входит в этот отрезок, поэтому решение остается без изменений.

Ответ: $x \in [-\frac{91}{10}, -\frac{3}{2}]$.