Номер 42.32, страница 250, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.32. a) $f(x) = \sin \left( 3x - \frac{\pi}{3} \right)$;

б) $f'(x) = \frac{4}{\cos^2(5x-1)}$.

а)

Задача состоит в нахождении функции $f(x)$ по ее производной $f'(x)$. Это означает, что нам нужно найти первообразную для данной функции, то есть вычислить неопределенный интеграл.

$f'(x) = \sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)$

$f(x) = \int \sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) dx$

Для вычисления этого интеграла воспользуемся табличной формулой для первообразной синуса и правилом интегрирования сложной функции. Общая формула для первообразной функции $\sin(kx+b)$ имеет вид:

$\int \sin(kx+b) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b) + C$

В нашем случае коэффициент $k=3$ и сдвиг $b = -\frac{\pi}{3}$. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$f(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) + C$

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Для проверки правильности результата найдем производную от полученной функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(-\frac{1}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) + C\right)' = -\frac{1}{3} \cdot \left(-\sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)\right) \cdot (3x - \frac{\pi}{3})' = \frac{1}{3}\sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) \cdot 3 = \sin\left(3x - \frac{\pi}{3}\right)$

Производная совпала с исходной функцией, значит, первообразная найдена верно.

Ответ: $f(x) = -\frac{1}{3}\cos\left(3x - \frac{\pi}{3}\right) + C$

б)

Аналогично пункту а), найдем функцию $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл от ее производной $f'(x)$.

$f'(x) = \frac{4}{\cos^2(5x - 1)}$

$f(x) = \int \frac{4}{\cos^2(5x - 1)} dx$

Вынесем постоянный множитель 4 за знак интеграла:

$f(x) = 4 \int \frac{1}{\cos^2(5x - 1)} dx$

Воспользуемся табличной формулой для первообразной функции $\frac{1}{\cos^2(x)}$ и правилом интегрирования сложной функции. Общая формула для первообразной функции $\frac{1}{\cos^2(kx+b)}$:

$\int \frac{1}{\cos^2(kx+b)} dx = \frac{1}{k}\tan(kx+b) + C$

В нашем случае коэффициент $k=5$ и сдвиг $b = -1$. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$f(x) = 4 \cdot \frac{1}{5}\tan(5x - 1) + C = \frac{4}{5}\tan(5x - 1) + C$

где $C$ – произвольная постоянная интегрирования.

Для проверки правильности результата найдем производную от полученной функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{4}{5}\tan(5x - 1) + C\right)' = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\cos^2(5x - 1)} \cdot (5x-1)' = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\cos^2(5x - 1)} \cdot 5 = \frac{4}{\cos^2(5x - 1)}$

Производная совпала с исходной функцией, значит, первообразная найдена верно.

Ответ: $f(x) = \frac{4}{5}\tan(5x - 1) + C$