Номер 42.26, страница 250, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.26. Решите неравенство $g'(x) > 0$, если:

a) $g(x) = \frac{(2x - 1)^4}{(3x + 2)^5};$

б) $g(x) = \frac{(4 - 3x)^4}{(5x - 4)^3}.$

а)

Дана функция $g(x) = \frac{(2x - 1)^4}{(3x + 2)^5}$. Чтобы решить неравенство $g'(x) > 0$, сначала найдем производную функции $g(x)$.

Воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = (2x - 1)^4$ и $v(x) = (3x + 2)^5$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$ по правилу дифференцирования сложной функции:
$u'(x) = ((2x - 1)^4)' = 4(2x - 1)^3 \cdot (2x - 1)' = 4(2x - 1)^3 \cdot 2 = 8(2x - 1)^3$.
$v'(x) = ((3x + 2)^5)' = 5(3x + 2)^4 \cdot (3x + 2)' = 5(3x + 2)^4 \cdot 3 = 15(3x + 2)^4$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:
$g'(x) = \frac{8(2x - 1)^3 (3x + 2)^5 - (2x - 1)^4 \cdot 15(3x + 2)^4}{((3x + 2)^5)^2}$.

Упростим выражение, вынеся общие множители в числителе за скобки:
$g'(x) = \frac{(2x - 1)^3 (3x + 2)^4 [8(3x + 2) - 15(2x - 1)]}{(3x + 2)^{10}}$.

Раскроем скобки в выражении $[8(3x + 2) - 15(2x - 1)]$:
$8(3x + 2) - 15(2x - 1) = 24x + 16 - 30x + 15 = -6x + 31$.

Подставим упрощенное выражение обратно в производную и сократим дробь:
$g'(x) = \frac{(2x - 1)^3 (3x + 2)^4 (-6x + 31)}{(3x + 2)^{10}} = \frac{(2x - 1)^3 (31 - 6x)}{(3x + 2)^6}$.

Теперь решим неравенство $g'(x) > 0$:
$\frac{(2x - 1)^3 (31 - 6x)}{(3x + 2)^6} > 0$.

Знаменатель $(3x + 2)^6$ всегда больше или равен нулю, так как показатель степени четный. Он равен нулю при $x = -2/3$. В остальных точках он положителен. Область определения функции и ее производной: $x \neq -2/3$.
Таким образом, знак дроби совпадает со знаком числителя при $x \neq -2/3$.
Решаем неравенство: $(2x - 1)^3 (31 - 6x) > 0$.

Поскольку нечетная степень не влияет на знак, неравенство эквивалентно следующему:
$(2x - 1)(31 - 6x) > 0$.

Найдем корни левой части: $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/2$; $31 - 6x = 0 \Rightarrow x = 31/6$.
Нанесем корни на числовую ось и определим знаки на интервалах.
Для $x > 31/6$, $(2x - 1) > 0$ и $(31 - 6x) < 0$, произведение отрицательно.
Для $1/2 < x < 31/6$, $(2x - 1) > 0$ и $(31 - 6x) > 0$, произведение положительно.
Для $x < 1/2$, $(2x - 1) < 0$ и $(31 - 6x) > 0$, произведение отрицательно.
Точка $x = -2/3$ не входит в искомый интервал.

Неравенство выполняется на интервале $(1/2, 31/6)$.

Ответ: $x \in (1/2, 31/6)$.

б)

Дана функция $g(x) = \frac{(4 - 3x)^4}{(5x - 4)^3}$. Чтобы решить неравенство $g'(x) > 0$, сначала найдем производную функции $g(x)$.

Воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = (4 - 3x)^4$ и $v(x) = (5x - 4)^3$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = ((4 - 3x)^4)' = 4(4 - 3x)^3 \cdot (4 - 3x)' = 4(4 - 3x)^3 \cdot (-3) = -12(4 - 3x)^3$.
$v'(x) = ((5x - 4)^3)' = 3(5x - 4)^2 \cdot (5x - 4)' = 3(5x - 4)^2 \cdot 5 = 15(5x - 4)^2$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:
$g'(x) = \frac{-12(4 - 3x)^3 (5x - 4)^3 - (4 - 3x)^4 \cdot 15(5x - 4)^2}{((5x - 4)^3)^2}$.

Упростим выражение, вынеся общие множители в числителе за скобки:
$g'(x) = \frac{(4 - 3x)^3 (5x - 4)^2 [-12(5x - 4) - 15(4 - 3x)]}{(5x - 4)^6}$.

Раскроем скобки в выражении $[-12(5x - 4) - 15(4 - 3x)]$:
$-12(5x - 4) - 15(4 - 3x) = -60x + 48 - 60 + 45x = -15x - 12 = -3(5x + 4)$.

Подставим упрощенное выражение обратно в производную и сократим дробь:
$g'(x) = \frac{(4 - 3x)^3 (5x - 4)^2 (-3(5x + 4))}{(5x - 4)^6} = \frac{-3(4 - 3x)^3 (5x + 4)}{(5x - 4)^4}$.

Теперь решим неравенство $g'(x) > 0$:
$\frac{-3(4 - 3x)^3 (5x + 4)}{(5x - 4)^4} > 0$.

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства:
$\frac{(4 - 3x)^3 (5x + 4)}{(5x - 4)^4} < 0$.

Знаменатель $(5x - 4)^4$ всегда больше или равен нулю. Он равен нулю при $x = 4/5$. В остальных точках он положителен. Область определения функции и ее производной: $x \neq 4/5$.
Таким образом, знак дроби совпадает со знаком числителя при $x \neq 4/5$.
Решаем неравенство: $(4 - 3x)^3 (5x + 4) < 0$.

Это неравенство эквивалентно следующему:
$(4 - 3x)(5x + 4) < 0$.

Найдем корни левой части: $4 - 3x = 0 \Rightarrow x = 4/3$; $5x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4/5$.
Раскрыв скобки, получим $-15x^2 + 8x + 16 < 0$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, она принимает отрицательные значения вне интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $x < -4/5$ или $x > 4/3$.
Исключенная точка $x = 4/5$ не попадает в эти интервалы.

Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4/5) \cup (4/3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4/5) \cup (4/3; +\infty)$.