Номер 42.21, страница 249, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.21. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной равен 0:

а) $f(x) = \tan^3 x$;

б) $f(x) = \sin^2 x \cos 2x$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке. Чтобы найти абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной равен 0, необходимо найти производную данной функции и решить уравнение $f'(x) = 0$.

а) $f(x) = \operatorname{tg}^3 x$

1. Найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция вида $u^3$, где $u = \operatorname{tg} x$. Используем правило дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.
$f'(x) = (\operatorname{tg}^3 x)' = 3 \operatorname{tg}^{3-1} x \cdot (\operatorname{tg} x)' = 3 \operatorname{tg}^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$.
Таким образом, $f'(x) = \frac{3 \operatorname{tg}^2 x}{\cos^2 x}$.

2. Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти искомые абсциссы.
$\frac{3 \operatorname{tg}^2 x}{\cos^2 x} = 0$.

3. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Область определения функции тангенса и ее производной исключает точки, где $\cos x = 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
Приравниваем числитель к нулю:
$3 \operatorname{tg}^2 x = 0$
$\operatorname{tg}^2 x = 0$
$\operatorname{tg} x = 0$.

4. Решаем тригонометрическое уравнение $\operatorname{tg} x = 0$.
Решениями являются значения $x$, при которых синус равен нулю:
$x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Эти значения не совпадают с ограничениями области определения.

Ответ: $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

б) $f(x) = \sin^2 x \cos 2x$

1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = \sin^2 x$ и $v(x) = \cos 2x$.
$u'(x) = (\sin^2 x)' = 2 \sin x \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cos x = \sin 2x$.
$v'(x) = (\cos 2x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -2 \sin 2x$.

2. Применяем формулу производной произведения:
$f'(x) = u'v + uv' = (\sin 2x)(\cos 2x) + (\sin^2 x)(-2 \sin 2x)$
$f'(x) = \sin 2x \cos 2x - 2 \sin^2 x \sin 2x$.

3. Приравняем производную к нулю:
$\sin 2x \cos 2x - 2 \sin^2 x \sin 2x = 0$.
Вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:
$\sin 2x (\cos 2x - 2 \sin^2 x) = 0$.

4. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
Уравнение 1: $\sin 2x = 0$.
$2x = k\pi \implies x = \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Уравнение 2: $\cos 2x - 2 \sin^2 x = 0$.
Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ для преобразования уравнения:
$\cos 2x - 2 \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) = 0$
$\cos 2x - (1 - \cos 2x) = 0$
$\cos 2x - 1 + \cos 2x = 0$
$2 \cos 2x - 1 = 0$
$\cos 2x = \frac{1}{2}$.
Решения этого уравнения:
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi \implies x = \pm \frac{\pi}{6} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

5. Область определения исходной функции и ее производной — все действительные числа, поэтому все найденные серии корней являются решением задачи.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{2}, x = \pm \frac{\pi}{6} + n\pi$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.