Номер 42.36, страница 251, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

42.36. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью $x$:

a) $h(x) = \arcsin (3x - 2)$, $x_0 = \frac{2}{3}$;

б) $h(x) = \arcsin x \cdot \arccos x$, $x_0 = 0$.

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что ее значение равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Таким образом, чтобы найти тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью $x$, необходимо найти значение производной $h'(x)$ в точке $x_0$.

$\tan \alpha = h'(x_0)$

а) $h(x) = \arcsin(3x - 2)$, $x_0 = \frac{2}{3}$

Сначала найдем производную функции $h(x)$. Это сложная функция, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: $(\arcsin(u))' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$.
В данном случае $u = 3x - 2$, и ее производная $u' = 3$.
Тогда производная функции $h(x)$ равна:
$h'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (3x - 2)^2}} \cdot (3x-2)' = \frac{3}{\sqrt{1 - (3x - 2)^2}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{2}{3}$:
$h'\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{3}{\sqrt{1 - \left(3 \cdot \frac{2}{3} - 2\right)^2}} = \frac{3}{\sqrt{1 - (2 - 2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{1 - 0^2}} = \frac{3}{\sqrt{1}} = 3$

Ответ: 3.

б) $h(x) = \arcsin x \cdot \arccos x$, $x_0 = 0$

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(f(x) \cdot g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.
Здесь $f(x) = \arcsin x$, $g(x) = \arccos x$.
Их производные: $f'(x) = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ и $g'(x) = (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
Подставляем в формулу производной произведения:
$h'(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) \cdot \arccos x + \arcsin x \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) = \frac{\arccos x - \arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$.
Для этого нам нужны значения $\arcsin(0)$ и $\arccos(0)$.
$\arcsin(0) = 0$
$\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$
Подставляем эти значения в выражение для производной:
$h'(0) = \frac{\arccos(0) - \arcsin(0)}{\sqrt{1 - 0^2}} = \frac{\frac{\pi}{2} - 0}{\sqrt{1}} = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.