Страница 251, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Дано тождество $f(x) = 2 \sin 9x \sin 5x$. Какое из утверждений верно:

а) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 14x - \cos 4x;$

в) $f(x) = \cos 7x - \cos 2x;$

г) $f(x) = \cos 4x - \cos 14x?$

Для того чтобы определить, какое из утверждений является верным, необходимо преобразовать исходное выражение $f(x) = 2 \sin 9x \sin 5x$. Мы можем преобразовать произведение синусов в разность косинусов с помощью следующей тригонометрической формулы:
$2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)$.

В данном случае, пусть $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$. Подставим эти значения в формулу:
$f(x) = \cos(9x - 5x) - \cos(9x + 5x)$
$f(x) = \cos(4x) - \cos(14x)$

Теперь проверим каждое из предложенных утверждений, сравнивая его с полученным выражением $f(x) = \cos 4x - \cos 14x$.

а) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x$.
Это утверждение неверно. Результатом преобразования является разность косинусов, а не сумма синусов.
Ответ: неверно.

б) $f(x) = \cos 14x - \cos 4x$.
Это утверждение неверно. Выражение $\cos 14x - \cos 4x$ равно $-(\cos 4x - \cos 14x)$, что не совпадает с $f(x)$.
Ответ: неверно.

в) $f(x) = \cos 7x - \cos 2x$.
Это утверждение неверно. Аргументы косинусов ($7x$ и $2x$) не соответствуют полученным в результате преобразования ($4x$ и $14x$).
Ответ: неверно.

г) $f(x) = \cos 4x - \cos 14x$.
Это утверждение верно, так как оно в точности совпадает с выражением, полученным нами после преобразования.
Ответ: верно.

2. Дано тождество $f(x) = 2 \cos 9x \cos 5x$. Какое из утверждений верно:

а) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x;$

б) $f(x) = \cos 14x + \cos 4x;$

в) $f(x) = \cos 7x + \cos 2x;$

г) $f(x) = \sin 4x + \sin x?$

Для решения задачи необходимо преобразовать данное тождество $f(x) = 2 \cos 9x \cos 5x$ из произведения косинусов в сумму. Для этого воспользуемся соответствующей тригонометрической формулой:

$$2 \cos \alpha \cos \beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$$

В нашем выражении пусть $\alpha = 9x$ и $\beta = 5x$. Подставим эти значения в формулу:

$$f(x) = \cos(9x + 5x) + \cos(9x - 5x)$$

Выполним действия в аргументах косинусов:

$$f(x) = \cos(14x) + \cos(4x)$$

Теперь сравним полученное выражение с предложенными вариантами.

а) $f(x) = \sin 7x + \sin 2x$. Это выражение не равно $\cos 14x + \cos 4x$. Утверждение неверно.

б) $f(x) = \cos 14x + \cos 4x$. Это выражение полностью совпадает с полученным нами результатом, так как сложение коммутативно ($\cos(14x) + \cos(4x) = \cos 4x + \cos 14x$). Утверждение верно.

в) $f(x) = \cos 7x + \cos 2x$. Это выражение не равно $\cos 14x + \cos 4x$. Утверждение неверно.

г) $f(x) = \sin 4x + \sin x$. Это выражение не равно $\cos 14x + \cos 4x$. Утверждение неверно.

Таким образом, верным является утверждение б).

Ответ: б)

42.35. Вычислите скорость изменения функции $y = g(x)$ в точке $x_0$:

a) $g(x) = \operatorname{arctg}(1 - 3x), x_0 = \frac{1}{3};$

б) $g(x) = \arcsin \sqrt{x}, x_0 = 0,25;$

в) $g(x) = \arccos(2x - 3), x_0 = 1,5;$

г) $g(x) = \sqrt{\operatorname{arcctg} x}, x_0 = 0.$

Скорость изменения функции в точке — это значение её производной в этой точке. Чтобы решить задачу, для каждого случая найдем производную функции $g(x)$ и вычислим её значение в точке $x_0$.

а) $g(x) = \operatorname{arctg}(1 - 3x)$, $x_0 = \frac{1}{3}$

Данная функция является сложной. Для нахождения её производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная внешней функции $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{1}{1+u^2}$ и производная внутренней функции $(1-3x)' = -3$.

Тогда производная функции $g(x)$ равна:

$g'(x) = (\operatorname{arctg}(1 - 3x))' = \frac{1}{1 + (1 - 3x)^2} \cdot (1 - 3x)' = \frac{-3}{1 + (1 - 3x)^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{3}$:

$g'\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{3}{1 + (1 - 3 \cdot \frac{1}{3})^2} = -\frac{3}{1 + (1 - 1)^2} = -\frac{3}{1 + 0} = -3$.

Ответ: $-3$.

б) $g(x) = \operatorname{arcsin}\sqrt{x}$, $x_0 = 0,25$

Это сложная функция. Используем цепное правило. Производная внешней функции $(\operatorname{arcsin} u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ и производная внутренней функции $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (\operatorname{arcsin}\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot (\sqrt{x})' = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0,25 = \frac{1}{4}$:

$g'(0,25) = \frac{1}{2\sqrt{0,25 \cdot (1 - 0,25)}} = \frac{1}{2\sqrt{0,25 \cdot 0,75}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}}} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{3}{16}}} = \frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

в) $g(x) = \operatorname{arccos}(2x - 3)$, $x_0 = 1,5$

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Производная внешней функции $(\operatorname{arccos} u)' = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ и производная внутренней функции $(2x-3)' = 2$.

Производная функции $g(x)$:

$g'(x) = (\operatorname{arccos}(2x - 3))' = -\frac{1}{\sqrt{1 - (2x - 3)^2}} \cdot (2x - 3)' = -\frac{2}{\sqrt{1 - (2x - 3)^2}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1,5$:

$g'(1,5) = -\frac{2}{\sqrt{1 - (2 \cdot 1,5 - 3)^2

42.36. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью $x$:

a) $h(x) = \arcsin (3x - 2)$, $x_0 = \frac{2}{3}$;

б) $h(x) = \arcsin x \cdot \arccos x$, $x_0 = 0$.

Геометрический смысл производной функции в точке заключается в том, что ее значение равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Таким образом, чтобы найти тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью $x$, необходимо найти значение производной $h'(x)$ в точке $x_0$.

$\tan \alpha = h'(x_0)$

а) $h(x) = \arcsin(3x - 2)$, $x_0 = \frac{2}{3}$

Сначала найдем производную функции $h(x)$. Это сложная функция, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: $(\arcsin(u))' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot u'$.
В данном случае $u = 3x - 2$, и ее производная $u' = 3$.
Тогда производная функции $h(x)$ равна:
$h'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (3x - 2)^2}} \cdot (3x-2)' = \frac{3}{\sqrt{1 - (3x - 2)^2}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{2}{3}$:
$h'\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{3}{\sqrt{1 - \left(3 \cdot \frac{2}{3} - 2\right)^2}} = \frac{3}{\sqrt{1 - (2 - 2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{1 - 0^2}} = \frac{3}{\sqrt{1}} = 3$

Ответ: 3.

б) $h(x) = \arcsin x \cdot \arccos x$, $x_0 = 0$

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения $(f(x) \cdot g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.
Здесь $f(x) = \arcsin x$, $g(x) = \arccos x$.
Их производные: $f'(x) = (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ и $g'(x) = (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.
Подставляем в формулу производной произведения:
$h'(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) \cdot \arccos x + \arcsin x \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) = \frac{\arccos x - \arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$.
Для этого нам нужны значения $\arcsin(0)$ и $\arccos(0)$.
$\arcsin(0) = 0$
$\arccos(0) = \frac{\pi}{2}$
Подставляем эти значения в выражение для производной:
$h'(0) = \frac{\arccos(0) - \arcsin(0)}{\sqrt{1 - 0^2}} = \frac{\frac{\pi}{2} - 0}{\sqrt{1}} = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

42.37. a) Решите уравнение $f'(x) = 2$, если $f(x) = \operatorname{arctg}(2x)$.

б) Найдите те значения $x$, при которых выполняется равенство $(f'(x))^2 = \frac{1}{x}$, где $f(x) = 2 \arcsin \sqrt{x}$.

а)

Дана функция $f(x) = \operatorname{arctg}(2x)$. Требуется решить уравнение $f'(x) = 2$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная арктангенса $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{1}{1+u^2}$, а производная внутренней функции $(2x)' = 2$.

$f'(x) = (\operatorname{arctg}(2x))' = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot (2x)' = \frac{1}{1+4x^2} \cdot 2 = \frac{2}{1+4x^2}$.

Теперь подставим найденную производную в уравнение $f'(x) = 2$:

$\frac{2}{1+4x^2} = 2$.

Разделим обе части уравнения на 2 (это возможно, так как $2 \neq 0$):

$\frac{1}{1+4x^2} = 1$.

Отсюда следует, что знаменатель должен быть равен 1:

$1+4x^2 = 1$.

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$4x^2 = 0$.

$x^2 = 0$.

Следовательно, $x=0$.

Ответ: $x=0$.

б)

Дана функция $f(x) = 2\arcsin\sqrt{x}$. Требуется найти значения $x$, при которых выполняется равенство $(f'(x))^2 = \frac{1}{x}$.

Найдем область определения функции $f(x)$. Аргумент арксинуса должен быть в пределах от -1 до 1, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

$\begin{cases} x \ge 0 \\ -1 \le \sqrt{x} \le 1 \end{cases}$

Поскольку $\sqrt{x}$ всегда неотрицателен, система упрощается до $0 \le \sqrt{x} \le 1$. Возведя в квадрат, получаем $0 \le x \le 1$. Таким образом, область определения функции $D(f) = [0, 1]$.

Теперь найдем производную $f'(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная арксинуса $(\arcsin u)' = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$, а производная внутренней функции $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$f'(x) = (2\arcsin\sqrt{x})' = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot (\sqrt{x})' = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}} = \frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$.

Производная определена, когда выражение под корнем в знаменателе строго больше нуля: $x-x^2 > 0$, или $x(1-x) > 0$. Решением этого неравенства является интервал $x \in (0, 1)$.

Теперь составим уравнение $(f'(x))^2 = \frac{1}{x}$:

$(\frac{1}{\sqrt{x-x^2}})^2 = \frac{1}{x}$.

$\frac{1}{x-x^2} = \frac{1}{x}$.

Это уравнение имеет смысл при $x \neq 0$ и $x-x^2 \neq 0$ (то есть $x \neq 1$). Учитывая область определения производной, мы ищем решения в интервале $x \in (0, 1)$.

Так как числители дробей равны, то и знаменатели должны быть равны:

$x-x^2 = x$.

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения:

$-x^2 = 0$.

$x^2 = 0$.

Единственное алгебраическое решение этого уравнения — $x=0$. Однако это значение не входит в область допустимых значений $x \in (0, 1)$, для которых исходное равенство определено. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

42.38. Решите неравенство $(f'(x))^2 > 1$, если:

a) $f(x) = \arcsin 2x$;

б) $f(x) = 2 \arccos \sqrt{x}$.

a) Дана функция $f(x) = \arcsin(2x)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования сложной функции и формулу производной арксинуса $(\arcsin u)' = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$, получаем:

$f'(x) = (\arcsin(2x))' = \frac{(2x)'}{\sqrt{1-(2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

Область определения производной $f'(x)$ задается условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$1-4x^2 > 0$

$4x^2 < 1$

$x^2 < \frac{1}{4}$

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

Теперь решим неравенство $(f'(x))^2 > 1$. Подставим найденную производную:

$\left(\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\right)^2 > 1$

$\frac{4}{1-4x^2} > 1$

Поскольку на области определения производной знаменатель $1-4x^2$ всегда положителен, мы можем умножить обе части неравенства на него, сохранив знак неравенства:

$4 > 1-4x^2$

$3 > -4x^2$

$4x^2 > -3$

$x^2 > -\frac{3}{4}$

Последнее неравенство выполняется для любого действительного значения $x$, так как $x^2 \ge 0$.

Итоговое решение является пересечением множества решений неравенства (все действительные числа) и области определения производной $x \in (-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$.

б) Дана функция $f(x) = 2 \arccos(\sqrt{x})$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используя правило дифференцирования сложной функции и формулу производной арккосинуса $(\arccos u)' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$, получаем:

$f'(x) = (2\arccos(\sqrt{x}))' = 2 \cdot \left(-\frac{(\sqrt{x})'}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{1-x}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{1-x}} = -\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$.

Область определения производной $f'(x)$ задается условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$x-x^2 > 0$

$x(1-x) > 0$

Решая это квадратное неравенство (методом интервалов или анализируя параболу), получаем $0 < x < 1$.

Теперь решим неравенство $(f'(x))^2 > 1$. Подставим найденную производную:

$\left(-\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}\right)^2 > 1$

$\frac{1}{x-x^2} > 1$

Поскольку на области определения производной знаменатель $x-x^2$ всегда положителен, мы можем умножить обе части неравенства на него, сохранив знак неравенства:

$1 > x-x^2$

$x^2 - x + 1 > 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - x + 1$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1-4 = -3$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), трехчлен $x^2 - x + 1$ положителен при всех действительных значениях $x$.

Итоговое решение является пересечением множества решений неравенства (все действительные числа) и области определения производной $x \in (0; 1)$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

43.1. Определите знак углового коэффициента касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точках с абсциссами $a, b, c$:

а) рис. 90;

б) рис. 91.

Рис. 90

Рис. 91

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Знак углового коэффициента можно определить по поведению графика функции в окрестности этой точки:

• Если функция возрастает (график идёт вверх при движении слева направо), то касательная образует острый угол с положительным направлением оси Ox, и её угловой коэффициент положителен: $k > 0$.
• Если функция убывает (график идёт вниз при движении слева направо), то касательная образует тупой угол с положительным направлением оси Ox, и её угловой коэффициент отрицателен: $k < 0$.
• Если точка является точкой экстремума (локального минимума или максимума), то касательная в этой точке горизонтальна, и её угловой коэффициент равен нулю: $k = 0$.

Проанализируем график, представленный на рисунке 90, в заданных точках:

• В точке с абсциссой a: График функции в этой точке достигает локального минимума. Касательная к графику в точке экстремума всегда горизонтальна. Следовательно, её угловой коэффициент равен нулю.
• В точке с абсциссой b: В окрестности этой точки функция убывает, так как её график направлен вниз. Следовательно, угловой коэффициент касательной в этой точке отрицателен.
• В точке с абсциссой c: В окрестности этой точки функция возрастает, так как её график направлен вверх. Следовательно, угловой коэффициент касательной в этой точке положителен.

Ответ: в точке $a$ угловой коэффициент равен нулю, в точке $b$ — отрицательный, в точке $c$ — положительный.

Проанализируем график, представленный на рисунке 91, в заданных точках:

• В точке с абсциссой a: В окрестности этой точки функция убывает (график идёт вниз). Следовательно, угловой коэффициент касательной отрицателен.
• В точке с абсциссой b: В окрестности этой точки функция также убывает. Следовательно, угловой коэффициент касательной тоже отрицателен.
• В точке с абсциссой c: В окрестности этой точки функция возрастает (график идёт вверх). Следовательно, угловой коэффициент касательной положителен.

Ответ: в точке $a$ угловой коэффициент отрицательный, в точке $b$ — отрицательный, в точке $c$ — положительный.