Страница 256, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

43.26. a) $f(x) = \arccos 3x + 2x, a = 0;$

б) $f(x) = 3x^2 - 0,2 \arcsin 5x, a = 0;$

в) $f(x) = 2 \operatorname{arctg} x + 3\sqrt{x}, a = 1;$

г) $f(x) = \frac{1}{x} - 5 \operatorname{arcctg} 2x, a = 1.$

а) $f(x) = \arccos{3x} + 2x, a = 0$

Для решения задачи необходимо найти производную функции $f(x)$ и вычислить её значение в точке $a=0$.

Производная суммы функций равна сумме производных:

$f'(x) = (\arccos{3x})' + (2x)'$

Используем формулы производных: $(\arccos u)' = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ и $(cx)' = c$.

Для слагаемого $\arccos{3x}$, имеем $u=3x$, тогда $u'=3$. Производная будет равна:

$(\arccos{3x})' = -\frac{3}{\sqrt{1-(3x)^2}} = -\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$

Производная второго слагаемого: $(2x)' = 2$.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = -\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}} + 2$

Теперь вычислим значение производной в точке $a=0$:

$f'(0) = -\frac{3}{\sqrt{1-9 \cdot 0^2}} + 2 = -\frac{3}{\sqrt{1-0}} + 2 = -\frac{3}{1} + 2 = -1$

Ответ: -1

б) $f(x) = 3x^2 - 0,2 \arcsin{5x}, a = 0$

Найдём производную функции $f(x)$ и вычислим её значение в точке $a=0$.

$f'(x) = (3x^2)' - (0,2 \arcsin{5x})'$

Используем формулы производных: $(x^n)'=nx^{n-1}$ и $(\arcsin u)' = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$.

Производная первого слагаемого: $(3x^2)' = 3 \cdot 2x = 6x$.

Для второго слагаемого $0,2 \arcsin{5x}$, имеем $u=5x$, тогда $u'=5$. Производная будет равна:

$(0,2 \arcsin{5x})' = 0,2 \cdot \frac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-25x^2}}$

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = 6x - \frac{1}{\sqrt{1-25x^2}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $a=0$:

$f'(0) = 6 \cdot 0 - \frac{1}{\sqrt{1-25 \cdot 0^2}} = 0 - \frac{1}{\sqrt{1}} = -1$

Ответ: -1

в) $f(x) = 2 \operatorname{arctg} x + 3\sqrt{x}, a = 1$

Найдём производную функции $f(x)$ и вычислим её значение в точке $a=1$. Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.

$f'(x) = (2 \operatorname{arctg} x)' + (3x^{1/2})'$

Используем формулы производных: $(\operatorname{arctg} x)' = \frac{1}{1+x^2}$ и $(x^n)'=nx^{n-1}$.

Производная первого слагаемого: $(2 \operatorname{arctg} x)' = 2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2}$.

Производная второго слагаемого: $(3x^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2-1} = \frac{3}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$.

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = \frac{2}{1+x^2} + \frac{3}{2\sqrt{x}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $a=1$:

$f'(1) = \frac{2}{1+1^2} + \frac{3}{2\sqrt{1}} = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$

Ответ: 2,5

г) $f(x) = \frac{1}{x} - 5 \operatorname{arcctg} 2x, a = 1$

Найдём производную функции $f(x)$ и вычислим её значение в точке $a=1$. Представим $\frac{1}{x}$ как $x^{-1}$.

$f'(x) = (x^{-1})' - (5 \operatorname{arcctg} 2x)'$

Используем формулы производных: $(x^n)'=nx^{n-1}$ и $(\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{u'}{1+u^2}$.

Производная первого слагаемого: $(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Для второго слагаемого $5 \operatorname{arcctg} 2x$, имеем $u=2x$, тогда $u'=2$. Производная будет равна:

$(5 \operatorname{arcctg} 2x)' = 5 \cdot \left(-\frac{2}{1+(2x)^2}\right) = -\frac{10}{1+4x^2}$

Таким образом, производная всей функции:

$f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \left(-\frac{10}{1+4x^2}\right) = -\frac{1}{x^2} + \frac{10}{1+4x^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $a=1$:

$f'(1) = -\frac{1}{1^2} + \frac{10}{1+4 \cdot 1^2} = -1 + \frac{10}{1+4} = -1 + \frac{10}{5} = -1 + 2 = 1$

Ответ: 1

43.27. a) $f(x) = \sin^3 2x, a = \frac{\pi}{12};$

б) $f(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\text{arctg } 3x}, a = \frac{1}{3};$

в) $f(x) = \cos^2 2x, a = \frac{\pi}{8};$

г) $f(x) = 2 \text{arctg } (3x^2) + 3 \text{arctg } (2x^3), a = 0.$

а)

Дана функция $f(x) = \sin^3 2x$ и точка $a = \frac{\pi}{12}$. Требуется найти значение производной функции в точке $a$, то есть $f'(a)$.

1. Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это производная сложной функции, поэтому применим цепное правило. Пусть $u(x) = \sin 2x$, тогда $f(x) = u^3$. Производная $f'(x)$ будет равна $3u^2 \cdot u'$. Найдем $u' = (\sin 2x)'$. Это также сложная функция. Ее производная равна $\cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$. Соберем все вместе: $f'(x) = 3(\sin 2x)^2 \cdot (2\cos 2x) = 6 \sin^2 2x \cos 2x$.

2. Теперь вычислим значение производной в точке $a = \frac{\pi}{12}$. $f'(\frac{\pi}{12}) = 6 \sin^2 (2 \cdot \frac{\pi}{12}) \cos (2 \cdot \frac{\pi}{12}) = 6 \sin^2 (\frac{\pi}{6}) \cos (\frac{\pi}{6})$. Мы знаем табличные значения: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим их в выражение: $f'(\frac{\pi}{12}) = 6 \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{8} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{4}$.

б)

Дана функция $f(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\operatorname{arctg} 3x}$ и точка $a = \frac{1}{3}$. Требуется найти значение производной $f'(a)$.

1. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции. Запишем функцию в виде $f(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}}(\operatorname{arctg} 3x)^{1/2}$. $f'(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{d}{dx}[(\operatorname{arctg} 3x)^{1/2}] = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{2}(\operatorname{arctg} 3x)^{-1/2} \cdot (\operatorname{arctg} 3x)'$. Производная от арктангенса: $(\operatorname{arctg} 3x)' = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot (3x)' = \frac{3}{1+9x^2}$. Подставим это в выражение для $f'(x)$: $f'(x) = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{\operatorname{arctg} 3x}} \cdot \frac{3}{1+9x^2} = \frac{6}{\sqrt{\pi}(1+9x^2)\sqrt{\operatorname{arctg} 3x}}$.

2. Теперь вычислим значение производной в точке $a = \frac{1}{3}$. $f'(\frac{1}{3}) = \frac{6}{\sqrt{\pi}(1+9(\frac{1}{3})^2)\sqrt{\operatorname{arctg} (3 \cdot \frac{1}{3})}} = \frac{6}{\sqrt{\pi}(1+9 \cdot \frac{1}{9})\sqrt{\operatorname{arctg} 1}}$. Мы знаем, что $\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}$. $f'(\frac{1}{3}) = \frac{6}{\sqrt{\pi}(1+1)\sqrt{\frac{\pi}{4}}} = \frac{6}{\sqrt{\pi} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}} = \frac{6}{\pi}$.

Ответ: $\frac{6}{\pi}$.

в)

Дана функция $f(x) = \cos^2 2x$ и точка $a = \frac{\pi}{8}$. Требуется найти значение производной $f'(a)$.

1. Сначала найдем производную функции $f(x)$. Удобно использовать формулу понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}$. $f(x) = \frac{1+\cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x$. Находим производную: $f'(x) = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos 4x)' = 0 + \frac{1}{2}(-\sin 4x) \cdot (4x)' = \frac{1}{2}(-\sin 4x) \cdot 4 = -2\sin 4x$. Альтернативный способ: по цепному правилу $f'(x) = 2\cos(2x) \cdot (-\sin(2x)) \cdot 2 = -4\sin(2x)\cos(2x)$. Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем $f'(x) = -2\sin(4x)$.

2. Теперь вычислим значение производной в точке $a = \frac{\pi}{8}$. $f'(\frac{\pi}{8}) = -2\sin(4 \cdot \frac{\pi}{8}) = -2\sin(\frac{\pi}{2})$. Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. $f'(\frac{\pi}{8}) = -2 \cdot 1 = -2$.

Ответ: $-2$.

г)

Дана функция $f(x) = 2 \operatorname{arcctg} (3x^2) + 3 \operatorname{arctg} (2x^3)$ и точка $a = 0$. Требуется найти значение производной $f'(a)$.

1. Найдем производную функции $f(x)$ как сумму производных двух слагаемых. Используем формулы производных: $(\operatorname{arcctg} u)' = -\frac{u'}{1+u^2}$ и $(\operatorname{arctg} u)' = \frac{u'}{1+u^2}$. Производная первого слагаемого: $(2 \operatorname{arcctg} (3x^2))' = 2 \cdot \left(-\frac{(3x^2)'}{1+(3x^2)^2}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{6x}{1+9x^4}\right) = -\frac{12x}{1+9x^4}$. Производная второго слагаемого: $(3 \operatorname{arctg} (2x^3))' = 3 \cdot \left(\frac{(2x^3)'}{1+(2x^3)^2}\right) = 3 \cdot \left(\frac{6x^2}{1+4x^6}\right) = \frac{18x^2}{1+4x^6}$. Таким образом, производная всей функции: $f'(x) = -\frac{12x}{1+9x^4} + \frac{18x^2}{1+4x^6}$.

2. Теперь вычислим значение производной в точке $a = 0$. $f'(0) = -\frac{12 \cdot 0}{1+9 \cdot 0^4} + \frac{18 \cdot 0^2}{1+4 \cdot 0^6} = -\frac{0}{1} + \frac{0}{1} = 0 + 0 = 0$.

Ответ: $0$.

43.28. а) $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \geq -3 \\ -2x - 3, & \text{если } x < -3 \end{cases}$, $a = -2$;

б) $f(x) = |x^2 - 3x|$, $a = 4$;

в) $f(x) = \begin{cases} 4x - x^2, & \text{если } x \geq 0 \\ -4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$, $a = 1$;

г) $f(x) = x^2 - 7|x| + 10$, $a = -1$.

а)

Задана функция $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \ge -3 \\ -2x - 3, & \text{если } x < -3 \end{cases}$ и значение $a = -2$. Требуется решить уравнение $f(x) = a$, то есть $f(x) = -2$. Рассмотрим два случая, в зависимости от значения $x$.

1. Если $x \ge -3$, то уравнение принимает вид:
$x^2 + 2x = -2$
$x^2 + 2x + 2 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.

2. Если $x < -3$, то уравнение принимает вид:
$-2x - 3 = -2$
$-2x = 1$
$x = -\frac{1}{2}$
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $x < -3$.
Поскольку $-\frac{1}{2} > -3$, этот корень не удовлетворяет условию $x < -3$.

Таким образом, уравнение $f(x) = -2$ не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б)

Задана функция $f(x) = |x^2 - 3x|$ и значение $a = 4$. Требуется решить уравнение $f(x) = a$, то есть $|x^2 - 3x| = 4$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - 3x = 4$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Отсюда находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

2) $x^2 - 3x = -4$
$x^2 - 3x + 4 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются $x=4$ и $x=-1$.

Ответ: $-1; 4$.

в)

Задана функция $f(x) = \begin{cases} 4x - x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$ и значение $a = 1$. Требуется решить уравнение $f(x) = a$, то есть $f(x) = 1$. Рассмотрим два случая.

1. Если $x \ge 0$, уравнение принимает вид:
$4x - x^2 = 1$
$x^2 - 4x + 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение по формуле корней:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
Получаем два корня: $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{3}$.
Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$, так как $2 + \sqrt{3} > 0$ и $2 - \sqrt{3} > 0$ (поскольку $4 > 3 \implies 2 > \sqrt{3}$).

2. Если $x < 0$, уравнение принимает вид:
$-4x = 1$
$x = -\frac{1}{4}$
Этот корень удовлетворяет условию $x < 0$.

Таким образом, уравнение $f(x) = 1$ имеет три корня.

Ответ: $-\frac{1}{4}; 2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}$.

г)

Задана функция $f(x) = x^2 - 7|x| + 10$ и значение $a = -1$. Требуется решить уравнение $f(x) = a$, то есть $x^2 - 7|x| + 10 = -1$.

$x^2 - 7|x| + 11 = 0$
Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать как:
$|x|^2 - 7|x| + 11 = 0$
Сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$. Получим квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 7y + 11 = 0$
Найдем корни этого уравнения:
$y = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Оба корня, $y_1 = \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$ и $y_2 = \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$, являются положительными, так как $7 > \sqrt{5}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, решив уравнения $|x| = y_1$ и $|x| = y_2$.
1. $|x| = \frac{7 + \sqrt{5}}{2} \implies x = \pm \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$.
2. $|x| = \frac{7 - \sqrt{5}}{2} \implies x = \pm \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$.
В итоге мы получили четыре различных корня.

Ответ: $\pm \frac{7 - \sqrt{5}}{2}; \pm \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$.

43.29. Напишите уравнения касательных к графику функции $y = f(x)$ в точках его пересечения с осью абсцисс, если:

a) $f(x) = 9 - x^2$;

б) $f(x) = x^3 - 27$;

в) $f(x) = x^3 - 4x$;

г) $f(x) = x^3 - x^4$.

43.30. Напишите уравнения касательных к параболе:

a) $y = x^2 - 3x$ в точках с ординатой 4;

б) $y = -x^2 + 5x$ в точках с ординатой 6.

а) Для параболы $y = x^2 - 3x$ необходимо найти уравнения касательных в точках с ординатой $y=4$.
1. Найдем точки касания. Для этого подставим значение ординаты $y=4$ в уравнение параболы:
$4 = x^2 - 3x$
$x^2 - 3x - 4 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$.
Получаем два значения для абсциссы: $x_1 = \frac{3+5}{2} = 4$ и $x_2 = \frac{3-5}{2} = -1$.
Таким образом, у нас есть две точки касания: $A(4, 4)$ и $B(-1, 4)$.
2. Найдем производную функции. Уравнение касательной в точке $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Производная нашей функции $f(x) = x^2 - 3x$ равна:
$f'(x) = (x^2 - 3x)' = 2x - 3$.
3. Составим уравнения касательных.
Для точки $A(4, 4)$:
$x_0 = 4$, $f(x_0) = 4$.
Найдем угловой коэффициент касательной (значение производной в этой точке): $k_1 = f'(4) = 2(4) - 3 = 5$.
Уравнение касательной: $y = 4 + 5(x - 4) \Rightarrow y = 4 + 5x - 20 \Rightarrow y = 5x - 16$.
Для точки $B(-1, 4)$:
$x_0 = -1$, $f(x_0) = 4$.
Найдем угловой коэффициент: $k_2 = f'(-1) = 2(-1) - 3 = -5$.
Уравнение касательной: $y = 4 - 5(x - (-1)) \Rightarrow y = 4 - 5(x+1) \Rightarrow y = 4 - 5x - 5 \Rightarrow y = -5x - 1$.
Ответ: $y = 5x - 16$ и $y = -5x - 1$.

б) Для параболы $y = -x^2 + 5x$ необходимо найти уравнения касательных в точках с ординатой $y=6$.
1. Найдем точки касания. Подставим $y=6$ в уравнение параболы:
$6 = -x^2 + 5x$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Таким образом, у нас есть две точки касания: $C(2, 6)$ и $D(3, 6)$.
2. Найдем производную функции. Для функции $f(x) = -x^2 + 5x$ производная равна:
$f'(x) = (-x^2 + 5x)' = -2x + 5$.
3. Составим уравнения касательных.
Для точки $C(2, 6)$:
$x_0 = 2$, $f(x_0) = 6$.
Угловой коэффициент: $k_1 = f'(2) = -2(2) + 5 = 1$.
Уравнение касательной: $y = 6 + 1(x - 2) \Rightarrow y = 6 + x - 2 \Rightarrow y = x + 4$.
Для точки $D(3, 6)$:
$x_0 = 3$, $f(x_0) = 6$.
Угловой коэффициент: $k_2 = f'(3) = -2(3) + 5 = -1$.
Уравнение касательной: $y = 6 - 1(x - 3) \Rightarrow y = 6 - x + 3 \Rightarrow y = -x + 9$.
Ответ: $y = x + 4$ и $y = -x + 9$.

43.31. В какой точке касательная к графику функции $y = x^2$ параллельна заданной прямой:

а) $y = 2x + 1;$

б) $y = -\frac{1}{2}x + 5;$

в) $y = \frac{3}{4}x - 2;$

г) $y = -x + 5?$

Чтобы найти точку, в которой касательная к графику функции $y = x^2$ параллельна заданной прямой, необходимо приравнять угловой коэффициент касательной к угловому коэффициенту этой прямой. Угловой коэффициент прямой вида $y = kx + b$ равен $k$. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в точке $x_0$.

1. Найдём производную функции $y = x^2$:

$y' = (x^2)' = 2x$

2. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $y'(x_0) = 2x_0$.

3. Приравниваем $2x_0 = k$ для каждой из заданных прямых, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$.

4. Находим ординату точки касания $y_0$, подставляя найденное значение $x_0$ в исходную функцию: $y_0 = x_0^2$.

а) Для прямой $y = 2x + 1$ угловой коэффициент $k = 2$.

Приравниваем производную к угловому коэффициенту: $2x_0 = 2$.

Отсюда находим абсциссу точки касания: $x_0 = 1$.

Находим соответствующую ординату: $y_0 = 1^2 = 1$.

Искомая точка: $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$.

б) Для прямой $y = -\frac{1}{2}x + 5$ угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$.

Приравниваем производную к угловому коэффициенту: $2x_0 = -\frac{1}{2}$.

Отсюда находим абсциссу точки касания: $x_0 = -\frac{1}{4}$.

Находим соответствующую ординату: $y_0 = (-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$.

Искомая точка: $(-\frac{1}{4}, \frac{1}{16})$.

Ответ: $(-\frac{1}{4}, \frac{1}{16})$.

в) Для прямой $y = \frac{3}{4}x - 2$ угловой коэффициент $k = \frac{3}{4}$.

Приравниваем производную к угловому коэффициенту: $2x_0 = \frac{3}{4}$.

Отсюда находим абсциссу точки касания: $x_0 = \frac{3}{8}$.

Находим соответствующую ординату: $y_0 = (\frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64}$.

Искомая точка: $(\frac{3}{8}, \frac{9}{64})$.

Ответ: $(\frac{3}{8}, \frac{9}{64})$.

г) Для прямой $y = -x + 5$ угловой коэффициент $k = -1$.

Приравниваем производную к угловому коэффициенту: $2x_0 = -1$.

Отсюда находим абсциссу точки касания: $x_0 = -\frac{1}{2}$.

Находим соответствующую ординату: $y_0 = (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Искомая точка: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$.

43.32. Напишите уравнения тех касательных к графику функции $y = \frac{x^3}{3} - 2$, которые параллельны заданной прямой:

а) $y = x - 3$;

б) $y = 9x - 5$.

а)

Чтобы касательная к графику функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2$ была параллельна прямой $y = x - 3$, их угловые коэффициенты должны быть равны. Угловой коэффициент прямой $y = x - 3$ равен $k=1$.

Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Найдем производную функции:

$f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - 2\right)' = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' - (2)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 0 = x^2$.

Теперь найдем абсциссы точек касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = k$:

$x_0^2 = 1$

Это уравнение имеет два решения: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$. Это означает, что существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи.

1. Найдем уравнение касательной для $x_0 = 1$.
Сначала вычислим ординату точки касания: $y_0 = f(1) = \frac{1^3}{3} - 2 = \frac{1}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{5}{3}$.
Точка касания — $(1, -\frac{5}{3})$.
Используем уравнение касательной $y - y_0 = k(x - x_0)$:
$y - (-\frac{5}{3}) = 1 \cdot (x - 1)$
$y + \frac{5}{3} = x - 1$
$y = x - 1 - \frac{5}{3}$
$y = x - \frac{8}{3}$

2. Найдем уравнение касательной для $x_0 = -1$.
Ордината точки касания: $y_0 = f(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - 2 = -\frac{1}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{7}{3}$.
Точка касания — $(-1, -\frac{7}{3})$.
Уравнение касательной:
$y - (-\frac{7}{3}) = 1 \cdot (x - (-1))$
$y + \frac{7}{3} = x + 1$
$y = x + 1 - \frac{7}{3}$
$y = x - \frac{4}{3}$

Ответ: $y = x - \frac{8}{3}$ и $y = x - \frac{4}{3}$.

б)

Касательная должна быть параллельна прямой $y = 9x - 5$. Это значит, что ее угловой коэффициент $k$ должен быть равен 9.

Как мы уже нашли, производная функции $f(x) = \frac{x^3}{3} - 2$ равна $f'(x) = x^2$.

Найдем абсциссы точек касания из условия $f'(x_0) = 9$:

$x_0^2 = 9$

Это уравнение имеет два решения: $x_0 = 3$ и $x_0 = -3$. Следовательно, существуют две искомые касательные.

1. Найдем уравнение касательной для $x_0 = 3$.
Ордината точки касания: $y_0 = f(3) = \frac{3^3}{3} - 2 = \frac{27}{3} - 2 = 9 - 2 = 7$.
Точка касания — $(3, 7)$.
Уравнение касательной:
$y - 7 = 9(x - 3)$
$y - 7 = 9x - 27$
$y = 9x - 20$

2. Найдем уравнение касательной для $x_0 = -3$.
Ордината точки касания: $y_0 = f(-3) = \frac{(-3)^3}{3} - 2 = -\frac{27}{3} - 2 = -9 - 2 = -11$.
Точка касания — $(-3, -11)$.
Уравнение касательной:
$y - (-11) = 9(x - (-3))$
$y + 11 = 9(x + 3)$
$y + 11 = 9x + 27$
$y = 9x + 16$

Ответ: $y = 9x - 20$ и $y = 9x + 16$.