Страница 260, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

43.53. a) На оси y взята точка B, из неё проведены касательные к графику функции $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $60^\circ$. Найдите координаты точки B.

б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $y = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x^2)$, которые пересекаются под углом $120^\circ$ в точке, лежащей на оси y.

а)

Пусть координаты точки $B$, лежащей на оси $y$, равны $(0, y_B)$.

Функция, задающая параболу: $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это парабола, симметричная относительно оси $y$, с вершиной в точке $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем производную функции: $f'(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2x = \sqrt{3}x$.

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Подставляя наши выражения для $f(x_0)$ и $f'(x_0)$, получаем:

$y = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \sqrt{3}x_0(x - x_0) = \sqrt{3}x_0 x - \frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку касательная проходит через точку $B(0, y_B)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Подставим $x=0$ и $y=y_B$:

$y_B = \sqrt{3}x_0(0) - \frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2} \implies y_B = -\frac{\sqrt{3}}{2}x_0^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из-за симметрии параболы относительно оси $y$, касательные, проведенные из точки на оси $y$, будут симметричны. Если абсцисса одной точки касания $x_1$, то второй будет $x_2 = -x_1$. Угловые коэффициенты этих касательных, $k_1 = f'(x_1)$ и $k_2 = f'(x_2)$, будут равны $k_1 = \sqrt{3}x_1$ и $k_2 = -\sqrt{3}x_1$, то есть $k_2 = -k_1$.

Угол $\alpha$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ определяется по формуле: $\tan \alpha = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$.

По условию, угол между касательными равен $60^\circ$, следовательно $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$. Подставляем $k_2 = -k_1$:

$\sqrt{3} = \left| \frac{-k_1 - k_1}{1 + k_1(-k_1)} \right| = \left| \frac{-2k_1}{1 - k_1^2} \right|$.

Мы можем выразить $k_1^2$ через $y_B$. Из соотношения $y_B = -\frac{\sqrt{3}}{2}x_1^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ получаем $x_1^2 = 1 - \frac{2y_B}{\sqrt{3}}$.

Тогда $k_1^2 = (\sqrt{3}x_1)^2 = 3x_1^2 = 3\left(1 - \frac{2y_B}{\sqrt{3}}\right) = 3 - 2\sqrt{3}y_B$.

Подставим $k_1^2$ в уравнение для тангенса угла. Пусть $k_1>0$ (это не влияет на результат, так как $k_1^2$ не зависит от знака $k_1$).

$\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{k_1^2}}{|1 - k_1^2|} = \frac{2\sqrt{3 - 2\sqrt{3}y_B}}{|1 - (3 - 2\sqrt{3}y_B)|} = \frac{2\sqrt{3 - 2\sqrt{3}y_B}}{|-2 + 2\sqrt{3}y_B|} = \frac{\sqrt{3 - 2\sqrt{3}y_B}}{|\sqrt{3}y_B - 1|}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$3 = \frac{3 - 2\sqrt{3}y_B}{(\sqrt{3}y_B - 1)^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3}y_B}{3y_B^2 - 2\sqrt{3}y_B + 1}$.

$3(3y_B^2 - 2\sqrt{3}y_B + 1) = 3 - 2\sqrt{3}y_B$.

$9y_B^2 - 6\sqrt{3}y_B + 3 = 3 - 2\sqrt{3}y_B$.

$9y_B^2 - 4\sqrt{3}y_B = 0$.

$y_B(9y_B - 4\sqrt{3}) = 0$.

Отсюда получаем два возможных значения для $y_B$:

$y_B = 0$ или $9y_B - 4\sqrt{3} = 0 \implies y_B = \frac{4\sqrt{3}}{9}$.

Оба значения $y_B$ меньше, чем ордината вершины параболы $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ (так как $0 < 0.866$ и $\frac{4\sqrt{3}}{9} \approx \frac{4 \cdot 1.732}{9} \approx 0.77 < 0.866$), поэтому оба решения являются допустимыми.

Таким образом, существует две точки B на оси $y$, удовлетворяющие условию.

Ответ: Координаты точки B: $(0, 0)$ или $\left(0, \frac{4\sqrt{3}}{9}\right)$.

б)

Функция, задающая параболу: $y = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - x^2) = -\frac{\sqrt{3}}{6}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{6}$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, симметричная относительно оси $y$. Вершина находится в точке $(0, \frac{\sqrt{3}}{6})$.

Найдем производную: $y' = -\frac{\sqrt{3}}{6}(2x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}x$.

Касательные пересекаются в точке на оси $y$. Из-за симметрии параболы, их угловые коэффициенты будут противоположны по знаку: $k_1 = k$ и $k_2 = -k$.

Угол между касательными составляет $120^\circ$. Смежный (острый) угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Формула для угла между прямыми обычно использует острый угол:

$\tan 60^\circ = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|$.

$\sqrt{3} = \left| \frac{-k - k}{1 + k(-k)} \right| = \left| \frac{-2k}{1 - k^2} \right|$.

Это уравнение, как и в пункте а), имеет два положительных решения для $k$: $k = \sqrt{3}$ и $k = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Проверим, какой из этих случаев соответствует углу $120^\circ$.

1. Если slopes are $k_1=\sqrt{3}$ и $k_2=-\sqrt{3}$, то углы наклона касательных к оси $Ox$ равны $\arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ$ и $\arctan(-\sqrt{3}) = 120^\circ$. Угол между ними равен $120^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

2. Если slopes are $k_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $k_2=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, то углы наклона равны $\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^\circ$ и $\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 150^\circ$. Угол между ними равен $150^\circ - 30^\circ = 120^\circ$.

Нам нужен второй случай, поэтому угловые коэффициенты касательных равны $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Найдем абсциссы точек касания. Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Тогда $y'(x_0) = -\frac{\sqrt{3}}{3}x_0$.

Для касательной с угловым коэффициентом $\frac{1}{\sqrt{3}}$: $\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}x_0 \implies \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}x_0 \implies x_0 = -1$.

Для касательной с угловым коэффициентом $-\frac{1}{\sqrt{3}}$: $-\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}x_0 \implies x_0 = 1$.

Найдем ординаты точек касания: $y(1) = y(-1) = \frac{\sqrt{3}}{6}(1 - 1^2) = 0$.

Точки касания: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Теперь составим уравнения касательных.

Касательная в точке $(1, 0)$ с угловым коэффициентом $-\frac{1}{\sqrt{3}}$:

$y - 0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1) \implies y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Касательная в точке $(-1, 0)$ с угловым коэффициентом $\frac{1}{\sqrt{3}}$:

$y - 0 = \frac{1}{\sqrt{3}}(x - (-1)) \implies y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Обе касательные пересекают ось $y$ в точке $(0, \frac{\sqrt{3}}{3})$.

Ответ: Уравнения касательных: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$.

43.54. a) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $y = x^2 - |2x - 6|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 5$, $x = -5$.

б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции $y = x^3 + |x - 1|$, проведённых через точки с абсциссами $x = 2$, $x = -2$.

а)

Дана функция $y = x^2 - |2x - 6|$. Требуется найти точку пересечения касательных к графику этой функции, проведённых через точки с абсциссами $x = 5$ и $x = -5$.

Сначала раскроем модуль в выражении для функции. Модуль $|2x - 6|$ обращается в ноль при $2x - 6 = 0$, то есть при $x = 3$.

• При $x \ge 3$, $|2x - 6| = 2x - 6$, и функция принимает вид: $y = x^2 - (2x - 6) = x^2 - 2x + 6$.
• При $x < 3$, $|2x - 6| = -(2x - 6) = 6 - 2x$, и функция принимает вид: $y = x^2 - (6 - 2x) = x^2 + 2x - 6$.

Таким образом, функция задается кусочно: $y(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + 6, & \text{если } x \ge 3 \\ x^2 + 2x - 6, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

Найдем производную функции для каждой из ветвей: $y'(x) = \begin{cases} 2x - 2, & \text{если } x > 3 \\ 2x + 2, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

1. Касательная в точке с абсциссой $x_1 = 5$.
Поскольку $5 > 3$, мы используем первую формулу для функции и её производной.
Найдем ординату точки касания: $y_1 = y(5) = 5^2 - 2(5) + 6 = 25 - 10 + 6 = 21$.
Точка касания $M_1(5; 21)$.
Найдем угловой коэффициент (значение производной в точке касания): $k_1 = y'(5) = 2(5) - 2 = 8$.
Уравнение касательной имеет вид $y - y_1 = k_1(x - x_1)$: $y - 21 = 8(x - 5)$
$y - 21 = 8x - 40$
$y = 8x - 19$

2. Касательная в точке с абсциссой $x_2 = -5$.
Поскольку $-5 < 3$, мы используем вторую формулу для функции и её производной.
Найдем ординату точки касания: $y_2 = y(-5) = (-5)^2 + 2(-5) - 6 = 25 - 10 - 6 = 9$.
Точка касания $M_2(-5; 9)$.
Найдем угловой коэффициент: $k_2 = y'(-5) = 2(-5) + 2 = -10 + 2 = -8$.
Уравнение касательной: $y - 9 = -8(x - (-5))$
$y - 9 = -8(x + 5)$
$y - 9 = -8x - 40$
$y = -8x - 31$

3. Точка пересечения касательных.
Чтобы найти точку пересечения, решим систему из уравнений двух касательных: $\begin{cases} y = 8x - 19 \\ y = -8x - 31 \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений: $8x - 19 = -8x - 31$
$16x = -12$
$x = -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4}$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в любое из уравнений касательной. Например, в первое: $y = 8(-\frac{3}{4}) - 19 = -6 - 19 = -25$.
Таким образом, точка пересечения касательных имеет координаты $(-\frac{3}{4}; -25)$.

Ответ: $(-\frac{3}{4}; -25)$.

б)

Дана функция $y = x^3 + |x - 1|$. Требуется найти точку пересечения касательных к графику этой функции, проведённых через точки с абсциссами $x = 2$ и $x = -2$.

Раскроем модуль. Выражение $x - 1$ равно нулю при $x = 1$.

• При $x \ge 1$, $|x - 1| = x - 1$, и функция принимает вид: $y = x^3 + x - 1$.
• При $x < 1$, $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$, и функция принимает вид: $y = x^3 - x + 1$.

Таким образом, функция задается кусочно: $y(x) = \begin{cases} x^3 + x - 1, & \text{если } x \ge 1 \\ x^3 - x + 1, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

Найдем производную функции: $y'(x) = \begin{cases} 3x^2 + 1, & \text{если } x > 1 \\ 3x^2 - 1, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

1. Касательная в точке с абсциссой $x_1 = 2$.
Так как $2 > 1$, используем первую ветвь функции.
Ордината точки касания: $y_1 = y(2) = 2^3 + 2 - 1 = 8 + 2 - 1 = 9$. Точка касания $M_1(2; 9)$.
Угловой коэффициент: $k_1 = y'(2) = 3(2^2) + 1 = 3 \cdot 4 + 1 = 13$.
Уравнение касательной: $y - 9 = 13(x - 2)$
$y - 9 = 13x - 26$
$y = 13x - 17$

2. Касательная в точке с абсциссой $x_2 = -2$.
Так как $-2 < 1$, используем вторую ветвь функции.
Ордината точки касания: $y_2 = y(-2) = (-2)^3 - (-2) + 1 = -8 + 2 + 1 = -5$. Точка касания $M_2(-2; -5)$.
Угловой коэффициент: $k_2 = y'(-2) = 3(-2)^2 - 1 = 3 \cdot 4 - 1 = 11$.
Уравнение касательной: $y - (-5) = 11(x - (-2))$
$y + 5 = 11(x + 2)$
$y + 5 = 11x + 22$
$y = 11x + 17$

3. Точка пересечения касательных.
Решим систему из уравнений двух касательных: $\begin{cases} y = 13x - 17 \\ y = 11x + 17 \end{cases}$
Приравняем правые части: $13x - 17 = 11x + 17$
$2x = 34$
$x = 17$
Найдем $y$, подставив $x = 17$ во второе уравнение: $y = 11(17) + 17 = 187 + 17 = 204$.
Точка пересечения касательных имеет координаты $(17; 204)$.

Ответ: $(17; 204)$.

43.55. a) При каких значениях параметра $p$ касательная к графику функции $y = x^3 - px$ в точке $x = 1$ проходит через точку $(2; 3)?

б) При каких значениях параметра $p$ касательная к графику функции $y = x^3 + px^2$ в точке $x = 1$ проходит через точку $(3; 2)?

а) Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для функции $y = f(x) = x^3 - px$ и точки касания $x_0 = 1$ найдем все компоненты уравнения.

1. Значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(1) = 1^3 - p \cdot 1 = 1 - p$.

2. Производная функции:

$f'(x) = (x^3 - px)' = 3x^2 - p$.

3. Значение производной в точке касания (угловой коэффициент касательной):

$f'(x_0) = f'(1) = 3 \cdot 1^2 - p = 3 - p$.

Теперь подставим найденные значения в общее уравнение касательной:

$y = (1 - p) + (3 - p)(x - 1)$.

По условию задачи, эта касательная проходит через точку $(2; 3)$. Это значит, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению касательной. Подставим $x = 2$ и $y = 3$ в полученное уравнение:

$3 = (1 - p) + (3 - p)(2 - 1)$

Решим это уравнение относительно параметра $p$:

$3 = 1 - p + (3 - p) \cdot 1$

$3 = 1 - p + 3 - p$

$3 = 4 - 2p$

$2p = 4 - 3$

$2p = 1$

$p = \frac{1}{2}$.

Ответ: $p = \frac{1}{2}$.

б) Решим задачу аналогично предыдущему пункту. Дана функция $y = f(x) = x^3 + px^2$, точка касания $x_0 = 1$, и точка, через которую проходит касательная, $(3; 2)$.

1. Значение функции в точке касания:

$f(x_0) = f(1) = 1^3 + p \cdot 1^2 = 1 + p$.

2. Производная функции:

$f'(x) = (x^3 + px^2)' = 3x^2 + 2px$.

3. Значение производной в точке касания:

$f'(x_0) = f'(1) = 3 \cdot 1^2 + 2p \cdot 1 = 3 + 2p$.

Запишем уравнение касательной:

$y = (1 + p) + (3 + 2p)(x - 1)$.

Касательная проходит через точку $(3; 2)$. Подставим $x = 3$ и $y = 2$ в уравнение:

$2 = (1 + p) + (3 + 2p)(3 - 1)$

Решим полученное уравнение:

$2 = 1 + p + (3 + 2p) \cdot 2$

$2 = 1 + p + 6 + 4p$

$2 = 7 + 5p$

$5p = 2 - 7$

$5p = -5$

$p = -1$.

Ответ: $p = -1$.

43.56. Является ли прямая $y = 4x - 5$ касательной к графику заданной функции? Если да, то найдите координаты точки касания:

а) $y = x^3 + x^2 - x - 2$;

б) $y = x^3 - 2x^2 - 7x - 13$.

Для того чтобы прямая $y = kx + b$ являлась касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, необходимо одновременное выполнение двух условий:

1. Значение производной функции в точке $x_0$ должно быть равно угловому коэффициенту прямой: $f'(x_0) = k$.
2. Значения функции и прямой в точке $x_0$ должны совпадать (точка касания лежит и на графике функции, и на прямой): $f(x_0) = kx_0 + b$.

В данной задаче прямая задана уравнением $y = 4x - 5$, следовательно, угловой коэффициент $k=4$, а свободный член $b=-5$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x^2 - x - 2$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + x^2 - x - 2)' = 3x^2 + 2x - 1$.

2. Применим первое условие касания: $f'(x_0) = k$. Найдем возможные абсциссы точек касания $x_0$, приравняв производную к угловому коэффициенту $k=4$:

$3x_0^2 + 2x_0 - 1 = 4$

$3x_0^2 + 2x_0 - 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$.

Корни уравнения:

$x_{0,1} = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 8}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$x_{0,2} = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 8}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$

Получили две возможные абсциссы для точки касания.

3. Проверим второе условие касания $f(x_0) = 4x_0 - 5$ для каждого найденного значения $x_0$.

Для $x_0 = 1$:

Значение функции: $f(1) = 1^3 + 1^2 - 1 - 2 = 1 + 1 - 1 - 2 = -1$.

Значение на прямой: $y(1) = 4(1) - 5 = -1$.

Так как $f(1) = y(1) = -1$, оба условия выполняются. Следовательно, прямая $y = 4x - 5$ является касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Ордината точки касания: $y_0 = -1$. Координаты точки касания: $(1, -1)$.

Для $x_0 = -\frac{5}{3}$:

Значение функции: $f(-\frac{5}{3}) = (-\frac{5}{3})^3 + (-\frac{5}{3})^2 - (-\frac{5}{3}) - 2 = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5}{3} - 2 = \frac{-125 + 75 + 45 - 54}{27} = -\frac{59}{27}$.

Значение на прямой: $y(-\frac{5}{3}) = 4(-\frac{5}{3}) - 5 = -\frac{20}{3} - 5 = -\frac{20 + 15}{3} = -\frac{35}{3}$.

Так как $f(-\frac{5}{3}) \neq y(-\frac{5}{3})$, в этой точке касания нет.

Ответ: Да, является. Координаты точки касания $(1, -1)$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 2x^2 - 7x - 13$.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 2x^2 - 7x - 13)' = 3x^2 - 4x - 7$.

2. Чтобы прямая $y = 4x - 5$ была касательной, должна существовать точка $x_0$, в которой одновременно выполняются два условия:

$f'(x_0) = 4 \implies 3x_0^2 - 4x_0 - 7 = 4 \implies 3x_0^2 - 4x_0 - 11 = 0$

$f(x_0) = 4x_0 - 5 \implies x_0^3 - 2x_0^2 - 7x_0 - 13 = 4x_0 - 5 \implies x_0^3 - 2x_0^2 - 11x_0 - 8 = 0$

3. Нам нужно выяснить, имеет ли система уравнений общие решения:

$\begin{cases} 3x_0^2 - 4x_0 - 11 = 0 & (1) \\ x_0^3 - 2x_0^2 - 11x_0 - 8 = 0 & (2) \end{cases}$

Из уравнения (1) выразим $3x_0^2 = 4x_0 + 11$, откуда $x_0^2 = \frac{4x_0 + 11}{3}$.

Подставим это выражение в уравнение (2), предварительно преобразовав его:

$x_0(x_0^2) - 2x_0^2 - 11x_0 - 8 = 0$

$x_0(\frac{4x_0 + 11}{3}) - 2(\frac{4x_0 + 11}{3}) - 11x_0 - 8 = 0$

Умножим все уравнение на 3:

$x_0(4x_0 + 11) - 2(4x_0 + 11) - 33x_0 - 24 = 0$

$4x_0^2 + 11x_0 - 8x_0 - 22 - 33x_0 - 24 = 0$

$4x_0^2 - 30x_0 - 46 = 0$

Разделим на 2: $2x_0^2 - 15x_0 - 23 = 0$.

Таким образом, любой общий корень исходной системы должен удовлетворять и этому уравнению. Решим систему из двух квадратных уравнений:

$\begin{cases} 3x_0^2 - 4x_0 - 11 = 0 \\ 2x_0^2 - 15x_0 - 23 = 0 \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы приравнять коэффициенты при $x_0^2$:

$\begin{cases} 6x_0^2 - 8x_0 - 22 = 0 \\ 6x_0^2 - 45x_0 - 69 = 0 \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(6x_0^2 - 8x_0 - 22) - (6x_0^2 - 45x_0 - 69) = 0$

$37x_0 + 47 = 0$

Отсюда находим единственно возможное значение для $x_0$:

$x_0 = -\frac{47}{37}$

Теперь необходимо проверить, является ли это значение корнем одного из исходных уравнений (например, первого). Подставим $x_0 = -\frac{47}{37}$ в уравнение $3x_0^2 - 4x_0 - 11 = 0$:

$3(-\frac{47}{37})^2 - 4(-\frac{47}{37}) - 11 = 3\frac{2209}{1369} + \frac{188}{37} - 11 = \frac{6627}{1369} + \frac{188 \cdot 37}{1369} - \frac{11 \cdot 1369}{1369} = \frac{6627 + 6956 - 15059}{1369} = \frac{13583 - 15059}{1369} = -\frac{1476}{1369} \neq 0$.

Поскольку полученное значение не удовлетворяет уравнению, система не имеет решений. Это означает, что не существует точки, в которой оба условия касания выполнялись бы одновременно.

Ответ: Нет, не является.

43.57. Найдите все такие значения параметра $a$, при которых касательные, проведённые к графикам функций $y = f(x)$ в точке $(a; f(a))$ и $y = g(x)$ в точке $(a; g(a))$, параллельны:

a) $f(x) = x^6$; $g(x) = x^7$;

б) $f(x) = x^4$; $g(x) = x^5$.

Условие параллельности двух прямых — это равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции $y=h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $h'(x_0)$.

В задаче требуется найти значения параметра $a$, при которых касательные к графикам функций $y = f(x)$ в точке $(a; f(a))$ и $y = g(x)$ в точке $(a; g(a))$ параллельны. Это означает, что их угловые коэффициенты в точке $x=a$ должны быть равны.

Следовательно, нам нужно решить уравнение:$f'(a) = g'(a)$

а) $f(x) = x^6; g(x) = x^7$

Сначала найдем производные заданных функций:$f'(x) = (x^6)' = 6x^5$$g'(x) = (x^7)' = 7x^6$

Теперь приравняем значения этих производных в точке $x=a$:$f'(a) = g'(a)$$6a^5 = 7a^6$

Решим полученное уравнение относительно $a$:$7a^6 - 6a^5 = 0$Вынесем общий множитель $a^5$ за скобки:$a^5(7a - 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $a$:1. $a^5 = 0 \implies a = 0$2. $7a - 6 = 0 \implies 7a = 6 \implies a = \frac{6}{7}$

Ответ: $a = 0$, $a = \frac{6}{7}$.

б) $f(x) = x^4; g(x) = x^5$

Сначала найдем производные заданных функций:$f'(x) = (x^4)' = 4x^3$$g'(x) = (x^5)' = 5x^4$

Теперь приравняем значения этих производных в точке $x=a$:$f'(a) = g'(a)$$4a^3 = 5a^4$

Решим полученное уравнение относительно $a$:$5a^4 - 4a^3 = 0$Вынесем общий множитель $a^3$ за скобки:$a^3(5a - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $a$:1. $a^3 = 0 \implies a = 0$2. $5a - 4 = 0 \implies 5a = 4 \implies a = \frac{4}{5}$

Ответ: $a = 0$, $a = \frac{4}{5}$.

43.58. a) При каких значениях параметра $a$ прямая $y = ax + 1$ является касательной к графику функции $y = \sqrt{4x + 1}$?

б) При каких значениях параметра $a$ прямая $y = 2x + a$ является касательной к графику функции $y = \sqrt{4x - 1}$?

а) Для того чтобы прямая $y = ax + 1$ была касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{4x + 1}$ в некоторой точке $x_0$, должны одновременно выполняться два условия: равенство значений функций в этой точке ($f(x_0) = ax_0 + 1$) и равенство производной функции угловому коэффициенту прямой ($f'(x_0) = a$).

Сначала найдем область определения функции $f(x)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $4x + 1 \ge 0$, откуда $x \ge -1/4$.

Заметим, что прямая $y = ax + 1$ при любом значении параметра $a$ проходит через точку с координатами $(0, 1)$, так как при $x=0$, $y = a \cdot 0 + 1 = 1$. Проверим, принадлежит ли эта точка графику функции $f(x)$. При $x=0$, $f(0) = \sqrt{4 \cdot 0 + 1} = \sqrt{1} = 1$.

Поскольку точка $(0, 1)$ является общей для прямой и графика функции при любом $a$, то если касание и существует, оно должно произойти именно в этой точке. Таким образом, точка касания $x_0 = 0$.

Теперь используем второе условие касания: $a = f'(x_0)$. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{4x + 1})' = \frac{1}{2\sqrt{4x + 1}} \cdot (4x + 1)' = \frac{4}{2\sqrt{4x + 1}} = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}}$

Вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 0$:

$f'(0) = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 0 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2$

Следовательно, угловой коэффициент касательной $a$ должен быть равен $2$.

Ответ: $a=2$.

б) Условия касания прямой $y = 2x + a$ и графика функции $f(x) = \sqrt{4x - 1}$ в точке $x_0$ аналогичны: значения функций должны быть равны, и производная функции должна быть равна угловому коэффициенту прямой. Угловой коэффициент данной прямой равен 2.

Условия касания в точке $x_0$:

1. $f(x_0) = 2x_0 + a$

2. $f'(x_0) = 2$

Область определения функции $f(x)$: $4x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1/4$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{4x - 1})' = \frac{1}{2\sqrt{4x - 1}} \cdot (4x - 1)' = \frac{4}{2\sqrt{4x - 1}} = \frac{2}{\sqrt{4x - 1}}$

Теперь используем второе условие $f'(x_0) = 2$, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$:

$\frac{2}{\sqrt{4x_0 - 1}} = 2$

Разделив обе части на 2, получаем:

$\frac{1}{\sqrt{4x_0 - 1}} = 1$

Отсюда следует, что $\sqrt{4x_0 - 1} = 1$. Возведя обе части в квадрат, имеем:

$4x_0 - 1 = 1$

$4x_0 = 2$

$x_0 = \frac{1}{2}$

Найденное значение $x_0 = 1/2$ принадлежит области определения функции ($1/2 \ge 1/4$).

Теперь, зная $x_0$, используем первое условие ($f(x_0) = 2x_0 + a$) для нахождения параметра $a$:

$a = f(x_0) - 2x_0$

Вычислим значение функции в точке $x_0 = 1/2$:

$f(1/2) = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{2} - 1} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$

Подставим найденные значения в формулу для $a$:

$a = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0$

Следовательно, при $a=0$ прямая $y = 2x$ является касательной к графику функции $y = \sqrt{4x - 1}$ в точке $x=1/2$.

Ответ: $a=0$.

43.59. а) К графику функции $y = 2 \sin^2 x + \sqrt{3} \sin 2x$, $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$, проведена касательная, параллельная прямой $y - 4x - 1 = 0$. Найдите ординату точки касания.

б) К графику функции $y = 2 \cos^2 x + \sqrt{3} \sin 2x$, $x \in [\frac{\pi}{2}; \pi]$, проведена касательная, параллельная прямой $3y - 6x + 2 = 0$. Найдите ординату точки касания.

a)

Дана функция $y = 2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin 2x$ на отрезке $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$ и прямая $y - 4x - 1 = 0$. Условие того, что касательная к графику функции параллельна данной прямой, означает, что их угловые коэффициенты равны. Найдем угловой коэффициент $k$ данной прямой. Для этого представим уравнение прямой в виде $y = kx+b$:
$y = 4x + 1$.
Следовательно, угловой коэффициент $k=4$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $y'(x_0)$. Найдем производную функции $y(x)$: $y' = (2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin 2x)' = 2 \cdot 2\sin x \cdot (\sin x)' + \sqrt{3} \cos(2x) \cdot (2x)' = 4\sin x \cos x + 2\sqrt{3}\cos(2x)$. Используя формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем: $y' = 2\sin(2x) + 2\sqrt{3}\cos(2x)$.

Приравняем значение производной в точке $x_0$ к угловому коэффициенту прямой: $y'(x_0) = 4$
$2\sin(2x_0) + 2\sqrt{3}\cos(2x_0) = 4$.
Разделим обе части уравнения на 2: $\sin(2x_0) + \sqrt{3}\cos(2x_0) = 2$.
Для решения этого тригонометрического уравнения применим метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части на $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$: $\frac{1}{2}\sin(2x_0) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x_0) = 1$.
Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения в уравнение: $\cos(\frac{\pi}{3})\sin(2x_0) + \sin(\frac{\pi}{3})\cos(2x_0) = 1$.
По формуле синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ имеем: $\sin(2x_0 + \frac{\pi}{3}) = 1$.
Общее решение этого уравнения: $2x_0 + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x_0 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.
$x_0 = \frac{\pi}{12} + \pi n$.

Теперь нужно найти корень, принадлежащий заданному отрезку $x \in [0; \frac{\pi}{2}]$. При $n=0$, $x_0 = \frac{\pi}{12}$. Этот корень подходит, так как $0 \le \frac{\pi}{12} \le \frac{\pi}{2}$. При $n=1$, $x_0 = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{13\pi}{12}$, что больше $\frac{\pi}{2}$. При $n=-1$, $x_0 = \frac{\pi}{12} - \pi = -\frac{11\pi}{12}$, что меньше $0$. Таким образом, абсцисса точки касания равна $x_0 = \frac{\pi}{12}$.

Для нахождения ординаты точки касания подставим значение $x_0$ в исходную функцию: $y(\frac{\pi}{12}) = 2\sin^2(\frac{\pi}{12}) + \sqrt{3}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = 2\sin^2(\frac{\pi}{12}) + \sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{6})$.
Используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$: $\sin^2(\frac{\pi}{12}) = \frac{1-\cos(2 \cdot \frac{\pi}{12})}{2} = \frac{1-\cos(\frac{\pi}{6})}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$.
Значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Подставляем найденные значения: $y(\frac{\pi}{12}) = 2 \cdot \frac{2-\sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2-\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2-\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
Ордината точки касания равна 1.

Ответ: 1

б)

Дана функция $y = 2\cos^2 x + \sqrt{3}\sin 2x$ на отрезке $x \in [\frac{\pi}{2}; \pi]$ и прямая $3y - 6x + 2 = 0$. Касательная параллельна прямой, значит их угловые коэффициенты равны. Найдем угловой коэффициент $k$ прямой, выразив $y$:
$3y = 6x - 2$
$y = 2x - \frac{2}{3}$.
Угловой коэффициент $k=2$.

Найдем производную функции $y(x)$: $y' = (2\cos^2 x + \sqrt{3}\sin 2x)' = 2 \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) + \sqrt{3} \cos(2x) \cdot 2 = -4\sin x\cos x + 2\sqrt{3}\cos(2x)$. Используя формулу $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем: $y' = -2\sin(2x) + 2\sqrt{3}\cos(2x)$.

Приравняем производную в точке $x_0$ к угловому коэффициенту $k=2$: $y'(x_0) = 2$
$-2\sin(2x_0) + 2\sqrt{3}\cos(2x_0) = 2$.
Разделим обе части на 2: $\sqrt{3}\cos(2x_0) - \sin(2x_0) = 1$.
Разделим обе части на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(2x_0) - \frac{1}{2}\sin(2x_0) = \frac{1}{2}$.
Зная, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, перепишем уравнение: $\cos(\frac{\pi}{6})\cos(2x_0) - \sin(\frac{\pi}{6})\sin(2x_0) = \frac{1}{2}$.
По формуле косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$: $\cos(2x_0 + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Общее решение: $2x_0 + \frac{\pi}{6} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая: 1) $2x_0 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$2x_0 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x_0 = \frac{\pi}{12} + \pi n$. Ни при каком целом $n$ корень не попадает в отрезок $[\frac{\pi}{2}; \pi]$. 2) $2x_0 + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$2x_0 = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x_0 = -\frac{\pi}{4} + \pi n$. При $n=1$, $x_0 = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$. Этот корень принадлежит отрезку $[\frac{\pi}{2}; \pi]$, так как $\frac{2\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4} \le \pi$. При других $n$ корни не подходят. Следовательно, абсцисса точки касания $x_0 = \frac{3\pi}{4}$.

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = \frac{3\pi}{4}$ в функцию: $y(\frac{3\pi}{4}) = 2\cos^2(\frac{3\pi}{4}) + \sqrt{3}\sin(2 \cdot \frac{3\pi}{4}) = 2\cos^2(\frac{3\pi}{4}) + \sqrt{3}\sin(\frac{3\pi}{2})$.
Так как $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, то: $y(\frac{3\pi}{4}) = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \sqrt{3}(-1) = 2(\frac{2}{4}) - \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3}$.
Ордината точки касания равна $1 - \sqrt{3}$.

Ответ: $1 - \sqrt{3}$