Страница 266, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Рис. 112

На рис. 109—112 изображены графики функций $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ и $y = \varphi(x)$, определённых на всей числовой прямой. Используя их, решите неравенство:

44.6. а) $f'(x) > 0;$

б) $g'(x) < 0;$

в) $h'(x) < 0;$

г) $\varphi'(x) > 0.$

а) Неравенство $f'(x) > 0$ выполняется на тех промежутках, где функция $y = f(x)$ возрастает. Геометрически это означает, что график функции на этих промежутках "идет вверх" при движении слева направо. Рассмотрим график функции $y = f(x)$ на Рис. 109. Мы видим, что функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до точки своего максимума. Абсцисса точки максимума (вершины параболы) равна $x = 2$. Следовательно, решение неравенства $f'(x) > 0$ — это промежуток $(-\infty, 2)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

б) Неравенство $g'(x) < 0$ выполняется на тех промежутках, где функция $y = g(x)$ убывает. Геометрически это означает, что график функции на этих промежутках "идет вниз" при движении слева направо. Рассмотрим график функции $y = g(x)$ на Рис. 110. Функция убывает на двух промежутках:
1. От $-\infty$ до точки локального минимума, абсцисса которой $x = 1$.
2. От точки локального максимума (в данном случае это точка излома, где производная не существует) с абсциссой $x = 3$ до $+\infty$.
Объединяя эти промежутки, получаем решение неравенства $g'(x) < 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

в) Неравенство $h'(x) < 0$ выполняется на тех промежутках, где функция $y = h(x)$ убывает. Рассмотрим график функции $y = h(x)$ на Рис. 111. Мы видим, что функция убывает на промежутке от $-\infty$ до точки своего минимума. Эта точка является точкой излома (производная в ней не существует), и ее абсцисса равна $x = 1$. Следовательно, решение неравенства $h'(x) < 0$ — это промежуток $(-\infty, 1)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

г) Неравенство $\phi'(x) > 0$ выполняется на тех промежутках, где функция $y = \phi(x)$ возрастает. Рассмотрим график функции $y = \phi(x)$ на Рис. 112. Функция возрастает на двух промежутках:
1. От $-\infty$ до точки локального максимума, абсцисса которой $x = -2$.
2. От точки локального минимума с абсциссой $x = 0$ до $+\infty$.
Объединяя эти промежутки, получаем решение неравенства $\phi'(x) > 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$.

44.7. a) $f'(x) \leq 0$;

б) $g'(x) \geq 0$;

В) $h'(x) \geq 0$;

Г) $\varphi'(x) \leq 0$.

Для решения данных задач необходимо использовать свойство производной, которое связывает ее знак с монотонностью функции. Знак производной функции на некотором промежутке определяет, возрастает или убывает функция на этом промежутке.

• Если производная $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.
• Если производная $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.
• Если производная $f'(x) = 0$ в точке, то это точка экстремума (максимума или минимума) или точка перегиба с горизонтальной касательной.

Нестрогие неравенства, такие как $f'(x) \ge 0$ и $f'(x) \le 0$, означают, что мы ищем промежутки, где функция соответственно не убывает (то есть возрастает или является постоянной) и не возрастает (то есть убывает или является постоянной). Для нахождения конкретных числовых промежутков необходимо иметь графики или аналитические выражения функций $f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ и $\phi(x)$. Поскольку они не предоставлены, решение будет представлено в виде общего описания метода.

Данное неравенство означает, что производная функции $f(x)$ меньше либо равна нулю. Это соответствует промежуткам, на которых функция $f(x)$ не возрастает, то есть убывает или остается постоянной. Чтобы найти эти промежутки по графику функции $y=f(x)$, необходимо определить все интервалы по оси $x$, на которых график функции направлен вниз или является горизонтальной линией.

Ответ: Множество всех значений $x$, для которых функция $f(x)$ убывает или является постоянной (не возрастает).

Данное неравенство означает, что производная функции $g(x)$ больше либо равна нулю. Это соответствует промежуткам, на которых функция $g(x)$ не убывает, то есть возрастает или остается постоянной. Чтобы найти эти промежутки по графику функции $y=g(x)$, необходимо определить все интервалы по оси $x$, на которых график функции направлен вверх или является горизонтальной линией.

Ответ: Множество всех значений $x$, для которых функция $g(x)$ возрастает или является постоянной (не убывает).

Данное неравенство означает, что производная функции $h(x)$ больше либо равна нулю. Решение аналогично пункту б). Мы ищем промежутки, на которых функция $h(x)$ не убывает (возрастает или является постоянной). Для этого нужно проанализировать график функции $y=h(x)$ и найти соответствующие интервалы по оси $x$.

Ответ: Множество всех значений $x$, для которых функция $h(x)$ возрастает или является постоянной (не убывает).

Данное неравенство означает, что производная функции $\phi(x)$ (фи от икс) меньше либо равна нулю. Решение аналогично пункту а). Мы ищем промежутки, на которых функция $\phi(x)$ не возрастает (убывает или является постоянной). Для этого нужно проанализировать график функции $y=\phi(x)$ и найти соответствующие интервалы по оси $x$.

Ответ: Множество всех значений $x$, для которых функция $\phi(x)$ убывает или является постоянной (не возрастает).