Номер 44.12, страница 268, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.12. Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой. Укажите характер монотонности.

a) $y = x^5 + 6x^3 - 7;$

б) $y = x - \cos x + 8;$

в) $y = \sin x - 2x - 15;$

г) $y = 11 - 5x - x^3.$

Для доказательства монотонности функции на всей числовой прямой и определения ее характера необходимо исследовать знак ее первой производной. Если производная $y' \ge 0$ (причем равенство нулю достигается лишь в отдельных точках), то функция монотонно возрастает. Если $y' \le 0$ (равенство нулю также в отдельных точках), то функция монотонно убывает.

а) $y = x^5 + 6x^3 - 7$

Найдем производную функции. Область определения функции — вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (x^5 + 6x^3 - 7)' = 5x^4 + 18x^2$.

Определим знак производной. Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$y' = x^2(5x^2 + 18)$.

Проанализируем знаки множителей:

1. $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$. Равенство нулю достигается только при $x=0$.

2. Так как $x^2 \ge 0$, то $5x^2 \ge 0$, и следовательно, $5x^2 + 18 \ge 18$. Этот множитель всегда строго положителен.

Произведение неотрицательного множителя $x^2$ и строго положительного множителя $(5x^2 + 18)$ является неотрицательной величиной. Таким образом, $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Производная обращается в ноль только в одной точке $x=0$.

Поскольку производная функции неотрицательна на всей числовой прямой и равна нулю лишь в одной точке, функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

б) $y = x - \cos x + 8$

Найдем производную функции. Область определения функции — вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (x - \cos x + 8)' = 1 - (-\sin x) + 0 = 1 + \sin x$.

Определим знак производной. Область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$.

Следовательно, для производной $y' = 1 + \sin x$ имеем:

$1 + (-1) \le 1 + \sin x \le 1 + 1$

$0 \le 1 + \sin x \le 2$

Таким образом, $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Производная обращается в ноль в точках, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как производная функции неотрицательна на всей числовой прямой и равна нулю в изолированных точках, функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

в) $y = \sin x - 2x - 15$

Найдем производную функции. Область определения функции — вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (\sin x - 2x - 15)' = \cos x - 2$.

Определим знак производной. Область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$.

Следовательно, для производной $y' = \cos x - 2$ имеем:

$-1 - 2 \le \cos x - 2 \le 1 - 2$

$-3 \le \cos x - 2 \le -1$

Таким образом, $y' < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции строго отрицательна на всей числовой прямой, функция является монотонно убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно убывает на всей числовой прямой.

г) $y = 11 - 5x - x^3$

Найдем производную функции. Область определения функции — вся числовая прямая, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

$y' = (11 - 5x - x^3)' = -5 - 3x^2$.

Определим знак производной. Вынесем знак минус за скобки:

$y' = -(5 + 3x^2)$.

Рассмотрим выражение в скобках. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $3x^2 \ge 0$.

Следовательно, $5 + 3x^2 \ge 5$. Это выражение всегда строго положительно.

Таким образом, $y' = -(5 + 3x^2)$ является произведением $-1$ и строго положительного числа, а значит, $y' < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Поскольку производная функции строго отрицательна на всей числовой прямой, функция является монотонно убывающей на всей числовой прямой.

Ответ: функция монотонно убывает на всей числовой прямой.