Номер 44.11, страница 267, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.11. Докажите, что заданная функция убывает на R:

a) $y = \sin 2x - 3x$;

б) $y = \cos 3x - 4x$.

Чтобы доказать, что дифференцируемая функция убывает на множестве всех действительных чисел $R$, достаточно показать, что её производная меньше или равна нулю для всех $x \in R$, причём равенство нулю достигается лишь в отдельных точках.

a) $y = \sin 2x - 3x$

1. Найдём производную функции.
Используем правило дифференцирования разности и правило производной сложной функции $(\sin u)' = u' \cos u$:

$y' = (\sin 2x - 3x)' = (\sin 2x)' - (3x)' = (2x)' \cos 2x - 3 = 2\cos 2x - 3$.

2. Оценим знак производной.
Область значений функции косинус - это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:

$-1 \le \cos 2x \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на 2:

$-2 \le 2\cos 2x \le 2$

Теперь вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-2 - 3 \le 2\cos 2x - 3 \le 2 - 3$

$-5 \le 2\cos 2x - 3 \le -1$

Таким образом, мы получили, что $y' = 2\cos 2x - 3$ принимает только отрицательные значения, так как $-5 \le y' \le -1$.

Поскольку производная функции $y'(x) < 0$ для всех $x \in R$, это означает, что функция $y = \sin 2x - 3x$ строго убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) $y = \cos 3x - 4x$

1. Найдём производную функции.
Используем правило дифференцирования разности и правило производной сложной функции $(\cos u)' = -u' \sin u$:

$y' = (\cos 3x - 4x)' = (\cos 3x)' - (4x)' = -(3x)' \sin 3x - 4 = -3\sin 3x - 4$.

2. Оценим знак производной.
Область значений функции синус - это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:

$-1 \le \sin 3x \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-3) \cdot 1 \le -3\sin 3x \le (-3) \cdot (-1)$

$-3 \le -3\sin 3x \le 3$

Теперь вычтем 4 из всех частей неравенства:

$-3 - 4 \le -3\sin 3x - 4 \le 3 - 4$

$-7 \le -3\sin 3x - 4 \le -1$

Таким образом, мы получили, что $y' = -3\sin 3x - 4$ принимает только отрицательные значения, так как $-7 \le y' \le -1$.

Поскольку производная функции $y'(x) < 0$ для всех $x \in R$, это означает, что функция $y = \cos 3x - 4x$ строго убывает на всей числовой прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.