Номер 44.8, страница 267, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.8. a) Изобразите эскиз графика производной функции $y = f(x)$, если известно, что данная функция возрастает на $(-\infty; 1)$ и убывает на промежутке $(1; +\infty)$.

б) Изобразите эскиз графика производной функции $y = f(x)$, если известно, что данная функция убывает на луче $(-\infty; -1]$, возрастает на отрезке $[-1; 3]$, убывает на луче $[3; +\infty)$.

а) Для того чтобы построить эскиз графика производной функции $y = f'(x)$, воспользуемся связью между знаком производной и поведением самой функции $y = f(x)$.
Основное правило заключается в следующем: 1) если функция $f(x)$ возрастает на некотором интервале, то её производная $f'(x)$ на этом интервале неотрицательна, то есть $f'(x) \ge 0$; 2) если функция $f(x)$ убывает на некотором интервале, то её производная $f'(x)$ на этом интервале неположительна, то есть $f'(x) \le 0$; 3) в точках экстремума (максимума или минимума) дифференцируемой функции её производная равна нулю.
Согласно условию задачи:
1. Функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $(-\infty; 1)$. Это означает, что для всех $x$ из этого промежутка её производная $f'(x) \ge 0$. График производной $y=f'(x)$ находится выше или на оси абсцисс (оси Ox).
2. Функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $(1; +\infty)$. Это означает, что для всех $x$ из этого промежутка её производная $f'(x) \le 0$. График производной $y=f'(x)$ находится ниже или на оси абсцисс.
3. В точке $x=1$ функция меняет характер монотонности с возрастания на убывание. Это точка локального максимума для функции $f(x)$. Следовательно, если функция $f(x)$ дифференцируема в этой точке, её производная равна нулю: $f'(1) = 0$.
Таким образом, график производной $y = f'(x)$ должен пересекать ось Ox в точке $x=1$, быть положительным (выше оси Ox) при $x < 1$ и отрицательным (ниже оси Ox) при $x > 1$. Простейшим примером такой функции является линейная функция, например, $y = -x + 1$ или любая функция вида $y = k(1-x)$, где $k > 0$.
Ниже представлен эскиз графика производной $y=f'(x)$.

Ответ: Эскиз графика производной $y=f'(x)$ представляет собой любую непрерывную линию, которая пересекает ось абсцисс в точке $x=1$, расположена в верхней полуплоскости ($y \ge 0$) при $x \le 1$ и в нижней полуплоскости ($y \le 0$) при $x \ge 1$. Например, это может быть прямая, проходящая через точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

б) Аналогично пункту а), проанализируем поведение функции $y=f(x)$ и свяжем его со знаком её производной $y=f'(x)$.
Согласно условию задачи:
1. Функция $y=f(x)$ убывает на луче $(-\infty; -1]$. Значит, на этом промежутке её производная $f'(x) \le 0$. График $y=f'(x)$ лежит ниже или на оси Ox.
2. Функция $y=f(x)$ возрастает на отрезке $[-1; 3]$. Значит, на этом промежутке её производная $f'(x) \ge 0$. График $y=f'(x)$ лежит выше или на оси Ox.
3. Функция $y=f(x)$ убывает на луче $[3; +\infty)$. Значит, на этом промежутке её производная $f'(x) \le 0$. График $y=f'(x)$ снова лежит ниже или на оси Ox.
4. В точках $x=-1$ и $x=3$ происходит смена монотонности функции $f(x)$. В точке $x=-1$ убывание сменяется возрастанием (точка локального минимума), а в точке $x=3$ возрастание сменяется убыванием (точка локального максимума). В этих точках производная дифференцируемой функции равна нулю: $f'(-1) = 0$ и $f'(3) = 0$.
Следовательно, график производной $y=f'(x)$ должен пересекать ось Ox в точках $x=-1$ и $x=3$. Он должен быть отрицательным (ниже оси Ox) при $x < -1$ и $x > 3$, и положительным (выше оси Ox) при $-1 < x < 3$. Простейшим примером такой функции является квадратичная функция (парабола), ветви которой направлены вниз, а корни равны -1 и 3. Например, $y = -(x+1)(x-3)$ или $y = -x^2+2x+3$.
Ниже представлен эскиз графика производной $y=f'(x)$.

Ответ: Эскиз графика производной $y=f'(x)$ представляет собой любую непрерывную линию, которая пересекает ось абсцисс в точках $x=-1$ и $x=3$, расположена в нижней полуплоскости ($y \le 0$) при $x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$ и в верхней полуплоскости ($y \ge 0$) при $x \in [-1; 3]$. Например, это может быть парабола с ветвями, направленными вниз, пересекающая ось абсцисс в точках -1 и 3.