Номер 44.5, страница 265, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.5. На рис. 106, 107, 108 изображены графики производных $y = f'(x)$, $y = g'(x)$, $y = h'(x)$. Определите, какая из функций $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$:

а) возрастает на $R$;

б) убывает на $R$.

Рис. 106

Рис. 107

Рис. 108

Для решения задачи воспользуемся связью между функцией и её производной. Функция $y = F(x)$ возрастает на интервале, где её производная $F'(x)$ неотрицательна ($F'(x) \ge 0$), и убывает на интервале, где её производная неположительна ($F'(x) \le 0$). Нам даны графики производных $y = f'(x)$, $y = g'(x)$ и $y = h'(x)$, и необходимо определить поведение исходных функций $y = f(x)$, $y = g(x)$ и $y = h(x)$ на всей числовой прямой $R$.

а) возрастает на R;

Функция возрастает на всей числовой прямой $R$, если ее производная неотрицательна для всех действительных чисел $x$. Проанализируем каждый из представленных графиков производных:

На Рис. 106 изображен график производной $y = f'(x)$. Весь график находится выше оси абсцисс. Минимальное значение, которое принимает производная, равно 1 (при $x \le -2$). Таким образом, для любого $x \in R$ выполняется условие $f'(x) \ge 1$, что больше нуля. Следовательно, функция $y = f(x)$ строго возрастает на всей числовой прямой $R$.

На Рис. 107 изображен график производной $y = g'(x)$. Этот график представляет собой прямую, которая пересекает ось абсцисс в точке $x = -2$. При $x < -2$ значения производной $g'(x)$ отрицательны, а при $x > -2$ — положительны. Поскольку производная меняет знак, функция $y = g(x)$ не является монотонно возрастающей на всей числовой прямой $R$. Она убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.

На Рис. 108 изображен график производной $y = h'(x)$. Весь график находится ниже оси абсцисс. Максимальное значение, которое принимает производная, равно -1 (на отрезке $[-2; 2]$). Таким образом, для любого $x \in R$ выполняется условие $h'(x) \le -1$, что меньше нуля. Следовательно, функция $y = h(x)$ строго убывает на всей числовой прямой $R$.

Из анализа следует, что функция, возрастающая на всей числовой прямой $R$, — это $y = f(x)$.

Ответ: $y = f(x)$.

б) убывает на R.

Функция убывает на всей числовой прямой $R$, если ее производная неположительна для всех действительных чисел $x$.

Как было установлено в предыдущем пункте, этому условию удовлетворяет функция $y = h(x)$. График ее производной $y = h'(x)$ (Рис. 108) полностью расположен ниже оси абсцисс. Это означает, что $h'(x) < 0$ для всех $x \in R$. Следовательно, функция $y = h(x)$ убывает на всей числовой прямой $R$.

Для сравнения, функция $y = f(x)$ возрастает на $R$, так как $f'(x) > 0$, а функция $y = g(x)$ не является монотонной на $R$, так как ее производная $g'(x)$ принимает значения разных знаков.

Таким образом, функция, убывающая на всей числовой прямой $R$, — это $y = h(x)$.

Ответ: $y = h(x)$.