Номер 44.9, страница 267, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.9. Изобразите эскиз графика функции $y = f(x)$, если промежутки постоянства знака производной $f'(x)$ представлены на схеме:

а) рис. 113;

б) рис. 114;

в) рис. 115;

г) рис. 116.

Рис. 113

Ось X с точками $-4$ и $3$. Знаки над осью: $+$ до $-4$, $-$ между $-4$ и $3$, $+$ после $3$.

Рис. 114

Ось X с точками $0$, $2$ и $5$. Знаки над осью: $-$ до $0$, $+$ между $0$ и $2$, $-$ между $2$ и $5$, $+$ после $5$.

Рис. 115

Ось X с точками $-2$, $4$ и $7$. Знаки над осью: $+$ до $-2$, $-$ между $-2$ и $4$, $+$ между $4$ и $7$, $-$ после $7$.

Рис. 116

Ось X с точками $-1$, $0$, $1$ и $2$. Знаки над осью: $+$ до $-1$, $+$ между $-1$ и $0$, $-$ между $0$ и $1$, $+$ между $1$ и $2$, $-$ после $2$.

а) рис. 113;

Анализ знаков производной $f'(x)$ показывает следующее поведение функции $y=f(x)$:
1. На интервале $(-\infty; -4)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция $y=f(x)$ возрастает.
2. В точке $x = -4$ производная меняет знак с «+» на «–». Это означает, что $x = -4$ является точкой локального максимума функции.
3. На интервале $(-4; 3)$ производная $f'(x) < 0$, следовательно, функция $y=f(x)$ убывает.
4. В точке $x = 3$ производная меняет знак с «–» на «+». Это означает, что $x = 3$ является точкой локального минимума функции.
5. На интервале $(3; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция $y=f(x)$ снова возрастает.

Эскиз графика: График функции начинается в левой нижней части координатной плоскости, поднимается вверх до точки $x=-4$, где образует "вершину" (локальный максимум). Затем график опускается вниз, пересекая ось OY, и достигает своей "впадины" (локального минимума) в точке $x=3$. После этой точки функция вновь начинает возрастать, уходя в правую верхнюю часть. По своей форме график напоминает кубическую параболу с ветвями, направленными вверх.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -4]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутке $[-4; 3]$. Точка $x=-4$ является точкой максимума, а точка $x=3$ — точкой минимума.

б) рис. 114;

Анализ знаков производной $f'(x)$ показывает следующее поведение функции $y=f(x)$:
1. На $(-\infty; 0)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.
2. В точке $x = 0$ знак $f'(x)$ меняется с «–» на «+», следовательно, $x = 0$ — точка локального минимума.
3. На $(0; 2)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.
4. В точке $x = 2$ знак $f'(x)$ меняется с «+» на «–», следовательно, $x = 2$ — точка локального максимума.
5. На $(2; 5)$ имеем $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.
6. В точке $x = 5$ знак $f'(x)$ меняется с «–» на «+», следовательно, $x = 5$ — точка локального минимума.
7. На $(5; +\infty)$ имеем $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.

Эскиз графика: График приходит из левой верхней части плоскости, убывая до точки $x=0$, где находится локальный минимум. Затем функция возрастает до точки $x=2$, где достигается локальный максимум. После этого она снова убывает до точки $x=5$, где находится второй локальный минимум. Наконец, при $x > 5$ функция возрастает и уходит в правую верхнюю часть. График имеет форму, похожую на букву «W».

Ответ: Функция убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; 5]$, возрастает на промежутках $[0; 2]$ и $[5; +\infty)$. Точки $x=0$ и $x=5$ являются точками минимума, а $x=2$ — точкой максимума.

в) рис. 115;

Анализ знаков производной $f'(x)$ показывает следующее поведение функции $y=f(x)$:
1. На $(-\infty; -2)$ производная $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ возрастает.
2. В точке $x = -2$ знак $f'(x)$ меняется с «+» на «–», значит $x = -2$ — точка локального максимума.
3. На $(-2; 4)$ производная $f'(x) < 0$, функция $f(x)$ убывает.
4. В точке $x = 4$ знак $f'(x)$ меняется с «–» на «+», значит $x = 4$ — точка локального минимума.
5. На $(4; 7)$ производная $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ возрастает.
6. В точке $x = 7$ знак $f'(x)$ меняется с «+» на «–», значит $x = 7$ — точка локального максимума.
7. На $(7; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$, функция $f(x)$ убывает.

Эскиз графика: График начинается в левой нижней части, возрастает до локального максимума в точке $x=-2$. Затем убывает до локального минимума в точке $x=4$. После этого снова возрастает до второго локального максимума в точке $x=7$. Наконец, при $x > 7$ функция убывает, уходя в правую нижнюю часть плоскости. График по форме напоминает перевернутую букву «W» или букву «M».

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[4; 7]$, убывает на промежутках $[-2; 4]$ и $[7; +\infty)$. Точки $x=-2$ и $x=7$ являются точками максимума, а $x=4$ — точкой минимума.

г) рис. 116;

Анализ знаков производной $f'(x)$ показывает следующее поведение функции $y=f(x)$:
1. На промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; 0)$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает на всем промежутке $(-\infty; 0]$.
2. В точке $x = -1$ знак производной не меняется. Это означает, что в точке $x=-1$ нет экстремума. Если предположить, что в этой точке производная равна нулю ($f'(-1)=0$), то $x=-1$ является точкой перегиба с горизонтальной касательной.
3. В точке $x = 0$ знак $f'(x)$ меняется с «+» на «–», значит $x = 0$ — точка локального максимума.
4. На промежутке $(0; 1)$ производная $f'(x) < 0$, функция $f(x)$ убывает.
5. В точке $x = 1$ знак $f'(x)$ меняется с «–» на «+», значит $x = 1$ — точка локального минимума.
6. На промежутке $(1; 2)$ производная $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ возрастает.
7. В точке $x = 2$ знак $f'(x)$ меняется с «+» на «–», значит $x = 2$ — точка локального максимума.
8. На промежутке $(2; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$, функция $f(x)$ убывает.

Эскиз графика: График приходит из левой нижней части, возрастает. В точке $x=-1$ график имеет точку перегиба (похоже на поведение функции $y=x^3$ в нуле), где касательная становится горизонтальной, после чего продолжает возрастать до локального максимума в точке $x=0$. Затем график убывает до локального минимума в точке $x=1$. После этого он возрастает до второго локального максимума в точке $x=2$ и, наконец, убывает при $x > 2$, уходя в правую нижнюю часть плоскости.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; 2]$, убывает на промежутках $[0; 1]$ и $[2; +\infty)$. В точке $x=-1$ находится точка перегиба. Точки $x=0$ и $x=2$ являются точками максимума, а $x=1$ — точкой минимума.