Номер 44.6, страница 266, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Рис. 112

На рис. 109—112 изображены графики функций $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ и $y = \varphi(x)$, определённых на всей числовой прямой. Используя их, решите неравенство:

44.6. а) $f'(x) > 0;$

б) $g'(x) < 0;$

в) $h'(x) < 0;$

г) $\varphi'(x) > 0.$

а) Неравенство $f'(x) > 0$ выполняется на тех промежутках, где функция $y = f(x)$ возрастает. Геометрически это означает, что график функции на этих промежутках "идет вверх" при движении слева направо. Рассмотрим график функции $y = f(x)$ на Рис. 109. Мы видим, что функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до точки своего максимума. Абсцисса точки максимума (вершины параболы) равна $x = 2$. Следовательно, решение неравенства $f'(x) > 0$ — это промежуток $(-\infty, 2)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

б) Неравенство $g'(x) < 0$ выполняется на тех промежутках, где функция $y = g(x)$ убывает. Геометрически это означает, что график функции на этих промежутках "идет вниз" при движении слева направо. Рассмотрим график функции $y = g(x)$ на Рис. 110. Функция убывает на двух промежутках:
1. От $-\infty$ до точки локального минимума, абсцисса которой $x = 1$.
2. От точки локального максимума (в данном случае это точка излома, где производная не существует) с абсциссой $x = 3$ до $+\infty$.
Объединяя эти промежутки, получаем решение неравенства $g'(x) < 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

в) Неравенство $h'(x) < 0$ выполняется на тех промежутках, где функция $y = h(x)$ убывает. Рассмотрим график функции $y = h(x)$ на Рис. 111. Мы видим, что функция убывает на промежутке от $-\infty$ до точки своего минимума. Эта точка является точкой излома (производная в ней не существует), и ее абсцисса равна $x = 1$. Следовательно, решение неравенства $h'(x) < 0$ — это промежуток $(-\infty, 1)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.

г) Неравенство $\phi'(x) > 0$ выполняется на тех промежутках, где функция $y = \phi(x)$ возрастает. Рассмотрим график функции $y = \phi(x)$ на Рис. 112. Функция возрастает на двух промежутках:
1. От $-\infty$ до точки локального максимума, абсцисса которой $x = -2$.
2. От точки локального минимума с абсциссой $x = 0$ до $+\infty$.
Объединяя эти промежутки, получаем решение неравенства $\phi'(x) > 0$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$.