Номер 44.10, страница 267, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.10. Докажите, что заданная функция возрастает на $\mathbb{R}$:

а) $y = \cos x + 2x$;

б) $y = \sin x + x^3 + x$;

В) $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$;

Г) $y = x^5 + 4x^3 + 8x - 8$.

Для доказательства того, что дифференцируемая функция возрастает на некотором промежутке, достаточно показать, что ее производная на этом промежутке неотрицательна, причем равна нулю лишь в отдельных точках. Если производная строго положительна ($y'(x) > 0$), то функция строго возрастает.

а) $y = \cos x + 2x$

Найдем производную данной функции:

$y' = (\cos x + 2x)' = -\sin x + 2$.

Мы знаем, что область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$.

Умножая неравенство на -1, получаем: $-1 \le -\sin x \le 1$.

Теперь прибавим 2 ко всем частям неравенства, чтобы оценить значение производной:

$2 - 1 \le 2 - \sin x \le 2 + 1$

$1 \le y' \le 3$

Поскольку производная $y' = 2 - \sin x$ всегда строго положительна ($y' > 0$) для любого действительного значения $x$, функция $y = \cos x + 2x$ возрастает на всей числовой прямой $R$.

Ответ: Доказано, что функция возрастает на $R$.

б) $y = \sin x + x^3 + x$

Найдем производную данной функции:

$y' = (\sin x + x^3 + x)' = \cos x + 3x^2 + 1$.

Проанализируем знак производной. Известно, что:

1. Область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$. Отсюда следует, что $\cos x + 1 \ge 0$.

2. Выражение $3x^2$ всегда неотрицательно: $3x^2 \ge 0$ для любого $x \in R$.

Производная $y' = (\cos x + 1) + 3x^2$ является суммой двух неотрицательных слагаемых. Она может быть равна нулю, только если оба слагаемых равны нулю одновременно:

$\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1 \implies x = \pi + 2k\pi$, где $k \in Z$.

$3x^2 = 0 \implies x = 0$.

Эти два условия не могут выполняться одновременно. Следовательно, хотя бы одно из слагаемых всегда строго положительно, а значит, их сумма также всегда строго положительна: $y' > 0$.

Так как $y' > 0$ для всех $x \in R$, функция $y = \sin x + x^3 + x$ возрастает на всей числовой прямой $R$.

Ответ: Доказано, что функция возрастает на $R$.

в) $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$

Найдем производную данной функции:

$y' = (x^5 + 3x^3 + 7x + 4)' = 5x^4 + 9x^2 + 7$.

Проанализируем знак производной. Для любого действительного $x$ выражения $x^4$ и $x^2$ неотрицательны:

$x^4 \ge 0 \implies 5x^4 \ge 0$

$x^2 \ge 0 \implies 9x^2 \ge 0$

Производная $y'$ является суммой двух неотрицательных слагаемых и положительного числа 7. Найдем ее наименьшее значение:

$y' = 5x^4 + 9x^2 + 7 \ge 5(0) + 9(0) + 7 = 7$.

Поскольку $y' \ge 7$, то $y' > 0$ для всех $x \in R$. Значит, функция $y = x^5 + 3x^3 + 7x + 4$ возрастает на всей числовой прямой $R$.

Ответ: Доказано, что функция возрастает на $R$.

г) $y = x^5 + 4x^3 + 8x - 8$

Найдем производную данной функции:

$y' = (x^5 + 4x^3 + 8x - 8)' = 5x^4 + 12x^2 + 8$.

Проанализируем знак производной. Слагаемые $5x^4$ и $12x^2$ неотрицательны для любых $x \in R$.

$5x^4 \ge 0$

$12x^2 \ge 0$

Производная $y'$ является суммой двух неотрицательных слагаемых и положительного числа 8. Ее наименьшее значение достигается при $x=0$:

$y' = 5x^4 + 12x^2 + 8 \ge 5(0) + 12(0) + 8 = 8$.

Поскольку $y' \ge 8$, то $y' > 0$ для всех $x \in R$. Следовательно, функция $y = x^5 + 4x^3 + 8x - 8$ возрастает на всей числовой прямой $R$.

Ответ: Доказано, что функция возрастает на $R$.