Номер 44.15, страница 268, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.15. а) $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x - 35$ на $(-\infty; +\infty);

б) $y = 3x^3 - 6x^2 + 41x - 137$ на $(-\infty; +\infty).

а) Для исследования функции $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x - 35$ на монотонность на заданном промежутке $(-\infty; +\infty)$, найдем ее производную. Промежутки возрастания и убывания функции определяются знаком ее производной.
$y' = (2x^3 + 2x^2 + 11x - 35)' = 2 \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} + 11 \cdot 1 - 0 = 6x^2 + 4x + 11$.
Чтобы найти интервалы, на которых производная сохраняет знак, найдем ее нули (критические точки), решив уравнение $y' = 0$:
$6x^2 + 4x + 11 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 4^2 - 4 \cdot 6 \cdot 11 = 16 - 264 = -248$.
Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), у уравнения нет действительных корней. Это означает, что производная $y'$ никогда не обращается в ноль.
Графиком производной $y' = 6x^2 + 4x + 11$ является парабола. Так как старший коэффициент $a = 6$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Поскольку парабола не пересекает ось абсцисс (нет корней), она целиком расположена выше этой оси. Следовательно, производная $y'$ положительна при всех значениях $x$.
$y' > 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.
Так как производная функции положительна на всей числовой прямой, функция $y = 2x^3 + 2x^2 + 11x - 35$ является возрастающей на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

б) Исследуем на монотонность функцию $y = 3x^3 - 6x^2 + 41x - 137$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$. Для этого, как и в предыдущем случае, найдем ее производную.
$y' = (3x^3 - 6x^2 + 41x - 137)' = 3 \cdot 3x^{3-1} - 6 \cdot 2x^{2-1} + 41 \cdot 1 - 0 = 9x^2 - 12x + 41$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$9x^2 - 12x + 41 = 0$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 41 = 144 - 1476 = -1332$.
Дискриминант $D < 0$, следовательно, уравнение не имеет действительных корней, и производная $y'$ не меняет свой знак на всей числовой оси.
Графиком производной $y' = 9x^2 - 12x + 41$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a=9 > 0$). Поскольку корней нет, парабола находится полностью выше оси Ox. Это означает, что производная всегда положительна.
$y' > 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.
Поскольку производная функции положительна на всей области определения, функция $y = 3x^3 - 6x^2 + 41x - 137$ возрастает на всем промежутке $(-\infty; +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.