Номер 44.20, страница 268, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Определите промежутки монотонности функции:

44.20. a) $y = x^3 + 2x$;

б) $y = 60 + 45x - 3x^2 - x^3$;

в) $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40$;

г) $y = -x^5 + 5x$.

Для определения промежутков монотонности функции необходимо найти ее производную, приравнять производную к нулю, чтобы найти критические точки, а затем определить знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения функции. Если производная $y' > 0$ на интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если $y' < 0$, то функция убывает.

а) $y = x^3 + 2x$

1. Находим производную функции:

$y' = (x^3 + 2x)' = 3x^2 + 2$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$3x^2 + 2 = 0$

$3x^2 = -2$

$x^2 = -2/3$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Это означает, что критических точек нет.

3. Определяем знак производной на всей числовой оси. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $3x^2 \ge 0$, и следовательно, $y' = 3x^2 + 2 \ge 2$. Таким образом, производная $y'$ положительна при всех значениях $x$.

4. Так как $y' > 0$ на всей области определения, функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

б) $y = 60 + 45x - 3x^2 - x^3$

1. Находим производную функции:

$y' = (60 + 45x - 3x^2 - x^3)' = 45 - 6x - 3x^2$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$-3x^2 - 6x + 45 = 0$

Разделим обе части на -3:

$x^2 + 2x - 15 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 3$.

3. Критические точки $x = -5$ и $x = 3$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале. Графиком производной $y' = -3x^2 - 6x + 45$ является парабола с ветвями, направленными вниз.

• При $x \in (-\infty; -5)$, например, $x=-6$: $y'(-6) = -3(-6)^2 - 6(-6) + 45 = -108 + 36 + 45 = -27 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-5; 3)$, например, $x=0$: $y'(0) = 45 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (3; +\infty)$, например, $x=4$: $y'(4) = -3(4)^2 - 6(4) + 45 = -48 - 24 + 45 = -27 < 0$. Функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-5; 3]$ и убывает на промежутках $(-\infty; -5]$ и $[3; +\infty]$.

в) $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40$

1. Находим производную функции:

$y' = (2x^3 - 3x^2 - 36x + 40)' = 6x^2 - 6x - 36$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$6x^2 - 6x - 36 = 0$

Разделим обе части на 6:

$x^2 - x - 6 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$.

3. Критические точки $x = -2$ и $x = 3$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале. Графиком производной $y' = 6x^2 - 6x - 36$ является парабола с ветвями, направленными вверх.

• При $x \in (-\infty; -2)$, например, $x=-3$: $y'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-2; 3)$, например, $x=0$: $y'(0) = -36 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (3; +\infty)$, например, $x=4$: $y'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 > 0$. Функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[3; +\infty]$ и убывает на промежутке $[-2; 3]$.

г) $y = -x^5 + 5x$

1. Находим производную функции:

$y' = (-x^5 + 5x)' = -5x^4 + 5$

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$-5x^4 + 5 = 0$

$5x^4 = 5$

$x^4 = 1$

Отсюда $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

3. Критические точки $x = -1$ и $x = 1$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной $y' = -5(x^4-1)$ на каждом интервале.

• При $x \in (-\infty; -1)$, например, $x=-2$: $y'(-2) = -5(-2)^4 + 5 = -5(16) + 5 = -75 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1; 1)$, например, $x=0$: $y'(0) = -5(0)^4 + 5 = 5 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1; +\infty)$, например, $x=2$: $y'(2) = -5(2)^4 + 5 = -5(16) + 5 = -75 < 0$. Функция убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1; 1]$ и убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty]$.