Номер 44.24, страница 269, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.24. a) $y = \sin^2 x;$

Б) $y = \frac{1}{\cos^3 x};$

В) $y = \cos^2 x;$

Г) $y = \frac{1}{\sin^5 x}.$

а) Для нахождения производной функции $y = \sin^2 x$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Функция является композицией степенной функции $u^2$ и тригонометрической функции $u = \sin x$.

Производная находится по формуле $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$:

$y' = (\sin^2 x)' = 2\sin^{2-1} x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cdot \cos x$.

Используя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, упрощаем выражение:

$y' = \sin(2x)$.

Ответ: $y' = \sin(2x)$.

б) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{\cos^3 x}$ представим ее в виде $y = (\cos x)^{-3}$.

Это сложная функция, являющаяся композицией степенной функции $u^{-3}$ и тригонометрической функции $u = \cos x$. Применяем цепное правило:

$y' = ((\cos x)^{-3})' = -3(\cos x)^{-3-1} \cdot (\cos x)' = -3(\cos x)^{-4} \cdot (-\sin x)$.

Упростим полученное выражение:

$y' = 3\sin x (\cos x)^{-4} = \frac{3\sin x}{\cos^4 x}$.

Ответ: $y' = \frac{3\sin x}{\cos^4 x}$.

в) Для нахождения производной функции $y = \cos^2 x$ воспользуемся цепным правилом. Функция является композицией степенной функции $u^2$ и тригонометрической функции $u = \cos x$.

Производная находится по формуле $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$:

$y' = (\cos^2 x)' = 2\cos^{2-1} x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x)$.

Перегруппируем множители и применим формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$y' = -2\sin x \cos x = -\sin(2x)$.

Ответ: $y' = -\sin(2x)$.

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{\sin^5 x}$ представим ее в виде $y = (\sin x)^{-5}$.

Это сложная функция, являющаяся композицией степенной функции $u^{-5}$ и тригонометрической функции $u = \sin x$. Применяем цепное правило:

$y' = ((\sin x)^{-5})' = -5(\sin x)^{-5-1} \cdot (\sin x)' = -5(\sin x)^{-6} \cdot \cos x$.

Запишем результат в виде дроби:

$y' = -\frac{5\cos x}{\sin^6 x}$.

Ответ: $y' = -\frac{5\cos x}{\sin^6 x}$.