Номер 44.28, страница 269, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.28. a) $y = \begin{cases} x^5 - 5x^4 + 1, & \text{если } x \ge 0, \\ (x + 2)^2 - 3, & \text{если } x < 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -3x^5 + 5x^3 - 2, & \text{если } x \ge -1, \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x < -1. \end{cases}$

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} x^5 - 5x^4 + 1, & \text{если } x \ge 0 \\ (x+2)^2 - 3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

1. Исследование на непрерывность.

При $x > 0$ функция $y = x^5 - 5x^4 + 1$ является многочленом и, следовательно, непрерывна.
При $x < 0$ функция $y = (x+2)^2 - 3$ также является многочленом и непрерывна.
Проверим непрерывность в точке "стыка" $x = 0$. Для этого нужно проверить, выполняется ли равенство $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^+} y(x) = y(0)$.

Вычислим значение функции в точке $x = 0$:
$y(0) = 0^5 - 5 \cdot 0^4 + 1 = 1$.

Вычислим односторонние пределы:
Левосторонний предел (при $x \to 0^-$):
$\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} ((x+2)^2 - 3) = (0+2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$.
Правосторонний предел (при $x \to 0^+$):
$\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^5 - 5x^4 + 1) = 0^5 - 5 \cdot 0^4 + 1 = 1$.

Так как $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^+} y(x) = y(0) = 1$, функция непрерывна в точке $x = 0$.
Следовательно, функция непрерывна на всей числовой прямой.

2. Исследование на дифференцируемость.

Найдем производную функции на каждом из интервалов:
При $x > 0$: $y' = (x^5 - 5x^4 + 1)' = 5x^4 - 20x^3$.
При $x < 0$: $y' = ((x+2)^2 - 3)' = 2(x+2) = 2x + 4$.

Проверим дифференцируемость в точке $x = 0$, сравнив левую и правую производные в этой точке.
Левая производная: $y'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^-} (2x+4) = 2 \cdot 0 + 4 = 4$.
Правая производная: $y'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^+} (5x^4 - 20x^3) = 5 \cdot 0^4 - 20 \cdot 0^3 = 0$.

Поскольку $y'_{-}(0) \neq y'_{+}(0)$ ( $4 \neq 0$ ), производная в точке $x = 0$ не существует.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$, но не является дифференцируемой в точке $x=0$.

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} -3x^5 + 5x^3 - 2, & \text{если } x \ge -1 \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x < -1 \end{cases}$

1. Исследование на непрерывность.

При $x > -1$ функция $y = -3x^5 + 5x^3 - 2$ является многочленом и непрерывна.
При $x < -1$ функция $y = \frac{4}{x}$ является рациональной функцией, которая непрерывна всюду, кроме точки $x=0$. Так как $0$ не входит в интервал $x < -1$, функция на этом интервале непрерывна.
Проверим непрерывность в точке "стыка" $x = -1$. Для этого нужно проверить равенство $\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^+} y(x) = y(-1)$.

Вычислим значение функции в точке $x = -1$:
$y(-1) = -3(-1)^5 + 5(-1)^3 - 2 = -3(-1) + 5(-1) - 2 = 3 - 5 - 2 = -4$.

Вычислим односторонние пределы:
Левосторонний предел (при $x \to -1^-$):
$\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{4}{x} = \frac{4}{-1} = -4$.
Правосторонний предел (при $x \to -1^+$):
$\lim_{x \to -1^+} y(x) = \lim_{x \to -1^+} (-3x^5 + 5x^3 - 2) = -3(-1)^5 + 5(-1)^3 - 2 = 3 - 5 - 2 = -4$.

Так как $\lim_{x \to -1^-} y(x) = \lim_{x \to -1^+} y(x) = y(-1) = -4$, функция непрерывна в точке $x = -1$.
Следовательно, функция непрерывна на всей числовой прямой.

2. Исследование на дифференцируемость.

Найдем производную функции на каждом из интервалов:
При $x > -1$: $y' = (-3x^5 + 5x^3 - 2)' = -15x^4 + 15x^2$.
При $x < -1$: $y' = (\frac{4}{x})' = -\frac{4}{x^2}$.

Проверим дифференцируемость в точке $x = -1$, сравнив левую и правую производные в этой точке.
Левая производная: $y'_{-}(-1) = \lim_{x \to -1^-} (-\frac{4}{x^2}) = -\frac{4}{(-1)^2} = -4$.
Правая производная: $y'_{+}(-1) = \lim_{x \to -1^+} (-15x^4 + 15x^2) = -15(-1)^4 + 15(-1)^2 = -15(1) + 15(1) = 0$.

Поскольку $y'_{-}(-1) \neq y'_{+}(-1)$ ( $-4 \neq 0$ ), производная в точке $x = -1$ не существует.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$, но не является дифференцируемой в точке $x=-1$.