Номер 44.23, страница 269, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.23. a) $y = \frac{x^2}{x^2 + 2}$;

б) $y = -\frac{3x^2}{x^2 + 4}$.

а) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{x^2}{x^2 + 2}$, преобразуем данное выражение. Цель преобразования — выразить $y$ через простое выражение, диапазон которого легко определить.

Выделим целую часть дроби, добавив и вычтя 2 в числителе:

$y = \frac{x^2 + 2 - 2}{x^2 + 2} = \frac{x^2 + 2}{x^2 + 2} - \frac{2}{x^2 + 2} = 1 - \frac{2}{x^2 + 2}$

Теперь проанализируем полученное выражение. Область определения функции — все действительные числа, так как знаменатель $x^2 + 2$ всегда больше нуля ($x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2+2 \ge 2$).

Рассмотрим знаменатель $x^2 + 2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то наименьшее значение знаменателя равно $0^2 + 2 = 2$. При увеличении $|x|$, значение $x^2+2$ также увеличивается. Таким образом, $x^2 + 2$ принимает значения в промежутке $[2, +\infty)$.

Теперь оценим значение дроби $\frac{2}{x^2 + 2}$.

Если знаменатель $x^2+2$ принимает значения из $[2, +\infty)$, то обратная величина $\frac{1}{x^2+2}$ будет принимать значения из $(0, \frac{1}{2}]$.

Умножив на 2, получим, что выражение $\frac{2}{x^2 + 2}$ принимает значения из полуинтервала $(0, 1]$.

Вернемся к функции $y = 1 - \frac{2}{x^2 + 2}$. Мы вычитаем из 1 число из полуинтервала $(0, 1]$.

Наименьшее значение $y$ будет достигнуто, когда вычитаемое $\frac{2}{x^2 + 2}$ максимально. Его максимальное значение равно 1 (при $x=0$).

$y_{min} = 1 - 1 = 0$.

По мере роста $|x|$, знаменатель $x^2+2$ стремится к бесконечности, дробь $\frac{2}{x^2+2}$ стремится к 0 (оставаясь положительной), а значение $y$ стремится к $1 - 0 = 1$. Однако значение 1 никогда не достигается.

Следовательно, область значений функции — это промежуток от 0 (включительно) до 1 (не включительно).

Ответ: $E(y) = [0, 1)$.

б) Чтобы найти область значений функции $y = -\frac{3x^2}{x^2 + 4}$, используем аналогичный подход с преобразованием выражения.

Выполним преобразование:

$y = -\frac{3x^2}{x^2 + 4} = -3 \cdot \frac{x^2}{x^2 + 4} = -3 \cdot \frac{x^2 + 4 - 4}{x^2 + 4} = -3 \left( \frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} - \frac{4}{x^2 + 4} \right)$

$y = -3 \left( 1 - \frac{4}{x^2 + 4} \right) = -3 + \frac{12}{x^2 + 4}$

Проанализируем полученное выражение $y = -3 + \frac{12}{x^2 + 4}$. Область определения — все действительные числа, так как $x^2 + 4 > 0$.

Рассмотрим знаменатель $x^2 + 4$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Знаменатель принимает значения в промежутке $[4, +\infty)$.

Теперь оценим значение дроби $\frac{12}{x^2 + 4}$.

Если знаменатель $x^2+4$ принимает значения из $[4, +\infty)$, то обратная величина $\frac{1}{x^2+4}$ будет принимать значения из $(0, \frac{1}{4}]$.

Умножив на 12, получим, что выражение $\frac{12}{x^2 + 4}$ принимает значения из полуинтервала $(0, 3]$.

Вернемся к функции $y = -3 + \frac{12}{x^2 + 4}$. Мы прибавляем к числу -3 число из полуинтервала $(0, 3]$.

Наибольшее значение $y$ будет достигнуто, когда слагаемое $\frac{12}{x^2 + 4}$ максимально. Его максимальное значение равно 3 (при $x=0$).

$y_{max} = -3 + 3 = 0$.

По мере роста $|x|$, знаменатель $x^2+4$ стремится к бесконечности, дробь $\frac{12}{x^2+4}$ стремится к 0 (оставаясь положительной), а значение $y$ стремится к $-3 + 0 = -3$. Однако значение -3 никогда не достигается.

Следовательно, область значений функции — это промежуток от -3 (не включительно) до 0 (включительно).

Ответ: $E(y) = (-3, 0]$.